两角和与差的正弦、余弦和正切公式讲义-2024届高三数学一轮专题复习

§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考试要求　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用． 知识梳理 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝ ； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ ； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ . 2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝ ，其中sin φ＝，cos φ＝. 知识拓展 两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． tan αtan β＝1－＝－1. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(　 　) (2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　 　) (3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　 　) (4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　 　) 教材改编题 1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　) A．－ B. C．－ D. 2．若将sin x－cos x写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝ . 3．已知α∈，且sin α＝，则tan的值为 ． 题型一　两角和与差的三角函数公式 例1　(1)计算：等于(　　) A．－ B. C．－ D. (2)(2023·青岛模拟)已知tan α＝1＋m，tan β＝m，且α＋β＝，则实数m的值为(　　) A．－1 B．1 C．0或－3 D．0或1 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的． 跟踪训练1　(1)(2023·茂名模拟)已知0<α<，sin＝，则的值为(　　) A. B. C. D. (2)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 题型二　两角和与差的公式逆用与辅助角公式 例2　(1)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　) A. B. C. D. (2)(2022·浙江)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝ ，cos 2β＝ . 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华　运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． 跟踪训练2　(1)(2022·咸阳模拟)已知sin＝，则sin x＋sin等于(　　) A．1 B．－1 C. D. (2)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________． 题型三　角的变换问题 例3　(1)(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin等