4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式讲义-2024届高三数学一轮专题复习

§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式 考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2.掌握诱导公式，并会简单应用． 知识梳理 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： . (2)商数关系： . 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α 余弦 cos α 正切 tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 常用结论 同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)使sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　 　) (2)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　 　) (3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　 　) (4)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　 　) 教材改编题 1．若cos α＝，α∈，则tan α等于(　　) A．－ B. C．－2 D．2 2．若sin α＋cos α＝，则sin αcos α等于(　　) A．－ B．－ C. D．2 3．化简·cos(2π－α)的结果为 ． 题型一　同角三角函数基本关系 例1　(1)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈ B．cos θ＝－ C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝ (2)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ . (3)已知tan α＝2，则＝ ；sin2α＋cos2α＝ . 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华　(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 跟踪训练1　(1)(2023·苏州模拟)已知＝5，则cos2α＋sin 2α等于(　　) A. B．－ C．－3 D．3 (2)若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝，则sin α－cos α的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 题型二　诱导公式 例2　(1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　) A．sin(3π－x)＝－sin x B．sin ＝－cos  C．cos＝sin 3x D．cos＝－sin 2x (2)已知sin＝，且0<x<，则sin－cos的值为 ． 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华　诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 跟踪训练2　(1)若＝，则tan α等于(　　) A. B．－ C．－ D. (2)已知cos＝，则sin的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 例3　(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　) A. B. C. D. (2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.则＝ . 听课记录：______________________________________________________________