第9章 复习课 正、余弦定理的综合应用 学案-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

复习课 正、余弦定理的综合应用 学习目标 1.理解单元知识架构，能建构本单元知识体系. 2.能利用正、余弦定理解三角形. 3.能利用正、余弦定理解决有关三角形的综合问题. 4.能利用正、余弦定理解决实际应用问题. 学习活动 目标一：理解单元知识架构，能建构本单元知识体系. 任务：根据下列问题回顾本单元知识，建构单元知识框图. 问题： 1.正、余弦定理是什么？它们是如何推导的？有哪些变形？ 2.正、余弦定理适用于解决什么三角形问题？ 3.利用正、余弦定理解决的实际测量应用有哪些？ 【归纳总结】 目标二：能利用正、余弦定理解三角形. 任务：利用正、余弦定理解下列三角形. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度． 【归纳总结】 目标三：能利用正、余弦定理解决有关三角形的综合问题. 任务1：利用正、余弦定理判定三角形的形状. 在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状． 【归纳总结】 任务2：利用正、余弦定理求解三角形边、角、面积. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值． 【归纳总结】 目标四：能利用正、余弦定理解决实际应用问题. 任务：利用正、余弦定理解决下列实际问题. 如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45°方向，相距12海里的B处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值． 【归纳总结】 学习总结 任务：本单元我们收获了什么？还有哪些疑惑？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习课 正、余弦定理的综合应用 学习目标 1.理解单元知识架构，能建构本单元知识体系. 2.能利用正、余弦定理解三角形. 3.能利用正、余弦定理解决有关三角形的综合问题. 4.能利用正、余弦定理解决实际应用问题. 学习活动 目标一：理解单元知识架构，能建构本单元知识体系. 任务：根据下列问题回顾本单元知识，建构单元知识框图. 问题： 1.正、余弦定理是什么？它们是如何推导的？有哪些变形？ 2.正、余弦定理适用于解决什么三角形问题？ 3.利用正、余弦定理解决的实际测量应用有哪些？ 【归纳总结】 目标二：能利用正、余弦定理解三角形. 任务：利用正、余弦定理解下列三角形. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度． 参考答案： 解：在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2， 由余弦定理，得cos C＝＝， ∴sin C＝. 在△ADC中，由正弦定理， 得＝， ∴AD＝×＝. 【归纳总结】 解三角形的一般思路： 分析出所求解三角形中，哪些元素已知，还需要哪些元素，并确定选择或构造哪些三角形来求解，再利用正余弦定理求解. 目标三：能利用正、余弦定理解决有关三角形的综合问题. 任务1：利用正、余弦定理判定三角形的形状. 在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状． 参考答案： 解：∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， ∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)] ＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2b2sin Acos B＝2a2cos Asin B， 即a2cos Asin B＝b2sin Acos B. 法一：由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， ∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sin Asin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B. 在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， ∴A＝B或A＋B＝. ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理，得 a2b×＝b2a×， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0. 即a＝b或a2＋b2＝c2. ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 【归纳总结】 判断三角形形状的两种途径: （1） 通过正弦定理、余弦定理,化边为角(如:a=2Rsin A,a2+b2-c2=2abcos C等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断； （2） 通过正弦定理、余弦定理,化