任意角和弧度制、三角函数的概念讲义-2024届高三数学一轮专题复习

§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念 考试要求　1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 知识梳理 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形． (2)分类 (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为 . (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_________ ____________． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝________ 弧长公式 弧长l＝_______ 扇形面积公式 S＝________＝_______ 3．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义： 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． 常用结论 1．象限角 2．轴线角 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)－是第三象限角．(　 　) (2)若角α的终边过点P(－3,4)，则cos α＝－.(　 　) (3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．(　 　) (4)若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为.(　 　) 教材改编题 1. －660°等于(　　) A．－π rad B．－π rad C．－π rad D．－π rad 2．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度． 3．已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，tan α＝________. 题型一　角及其表示 例1　(1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B.是第三象限角 C.＋α是第二象限角 D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上 延伸探究　若α是第一象限角，则是第几象限角？ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ (2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华　确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置． 跟踪训练1　(1)“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2021·北京)若点P(cos θ，sin θ)与点Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________. 题型二　弧度制及其应用 例2　已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r. (1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长； ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ (2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角． ________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________