精品解析：江苏省南通市海安市实验中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

高一年级第一次学情检测 数学 一、单选题（每题5分） 1. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. （ ） A. 1 B. C. 3 D. 4. 已知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 6. （ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达·芬奇创作的油画，现收藏于法国卢浮宫博物馆.该油画规格为：纵77cm，横53cm.油画挂在墙壁上的最低点处B离地面237cm(如图所示).有一身高为175cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15cm)，设该游客离墙距离为xcm，视角为.为使观赏视角最大，x应为（ ） A. B. C. D. 8. 如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，则的最小值为 A. B. C D. 二、多选题（每题6分） 9. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C D. 10. 定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法正确的是（ ） A. 若与共线，则； B ； C. 对任意的，有； D. 11. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分） 12. 已知a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，，，，那么a等于______. 13. 已知，，，，则______． 14. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若，则________________. 四、解答题 15 已知，，．求： （1）； （2）． 16. 已知向量，，. （1）若，，三点共线，求实数的值； （2）若为锐角，求实数的取值范围. 17. 已知向量，，其中，且. （1）求和值; （2）若，且，求角. 18. 如图，圆心角为的扇形的半径为2，点是上一点，作这个扇形的内接矩形．设，． （1）若，求矩形的面积； （2）用表示矩形的面积，并求出矩形面积的最大值． 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量； （3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一年级第一次学情检测 数学 一、单选题（每题5分） 1. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知平方即可求出. 【详解】由题意，所以. 故选：A． 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由向量平行的坐标表示可得若，则或，再由充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】由可得，解得或， 所以“”是“” 充分不必要条件. 故选：A. 3. （ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由利用两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B 4. 已知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，由求解. 【详解】由，可得，所以， 则在上的投影向量为. 故选：D 5. 已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】C 【解析】 【分析】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G,可得， 又=-，则有=-，即AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上,即可得出结果. 【详解】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)， ∴， 又，可得=-，∴=-， ∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线