2024年全国初中数学重点高中自招竞赛试题汇编 专题10 二次函数

二次函数 (学生版) 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、填空题 1.(2024九年级 全国 竞赛)如图,二次函数与轴交于点(点在点左边),与轴交于点,点为线段上一点,将线段按逆时针方向旋转后得到线段,若点恰好落在二次函数在第一象限的图象上,则点的坐标为 . 2.(2024九年级 全国 竞赛)已知函数,当,且x为整数时,所有函数值的和为 . 3.(2024九年级 全国 竞赛)已知二次函数的图象与轴交于点(点在点左边),与直线交于点,若点在轴正半轴上,且为等腰三角形,则点的坐标为 . 4.(2024九年级 全国 竞赛)已知抛物线交轴于两点,点在轴左侧,该图象对称轴为,最高点的纵坐标为4,且.若点在轴上方的抛物线上,且.则点的坐标为 . 5.(2024九年级 全国 竞赛)如图,抛物线与轴交于点(点在点的左边),与轴交于点,抛物线由抛物线向右平移后得到,与轴交于点(点在点的左边),且交抛物线于点,若为等腰直角三角形,则抛物线的函数解析式为 . 6.(23-24九年级下 四川成都 阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,二次函数交x轴于A、B两点,交y轴于点C.将直线绕点A逆时针旋转得到直线l,点E为直线l上一点,且,连接,则 . 二、单选题 7.(2024九年级 全国 竞赛)如图为一座拱桥的部分示意图,中间桥洞的边界线是抛物线形,涝季的最高水位线在处,此时桥洞中水面宽度仅为4米,桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米;旱季最低水位线在处,此时桥洞中水面宽度达12米,那么最低水位与最高水位之间的距离为( ) A.8米 B.9米 C.10米 D.11米 8.(2024九年级 全国 竞赛)如图为一个抛物线形建筑物的示意图,底部宽为米,米高处宽为米,则这个建筑物的高度约为( ). A.米 B.米 C.米 D.米 9.(2024九年级 全国 竞赛)有六张扑克牌,上面的数字分别是1,2,3,4,5,6,从中任意抽取一张记下数字,然后放回洗匀,再任意抽取一张记下数字,则抛物线与轴至多只有一个交点的概率为( ) A. B. C. D. 10.(2024九年级 全国 竞赛)已知点为抛物线与轴的交点,点为该抛物线上的一个动点,其中使得的面积为1的点的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.(2024九年级 全国 竞赛)已知二次函数的图象上有三点,则的大小关系是( ) A. B. C. D. 12.(2024九年级 全国 竞赛)如图,在平面直角坐标系中,边长为的正方形的顶点分别在轴、轴的正半轴上,如果将这个正方形绕点按顺时针方向旋转,则点恰好落在二次函数的图象上,则( ) A. B. C. D. 13.(2024九年级 全国 竞赛)已知关于x的二次函数与x轴交于不同的两点,则实数,的大小关系可能为( ) A. B. C. D. 14.(2024九年级 全国 竞赛)如图,二次函数的图象与轴的正半轴相交于点,现将进行等分,分点分别为点,过各分点的垂线分别交二次函数的图象于点,记的面积分别为、,当越来越大时,最接近的常数是( ). A. B. C. D.1 15.(2024九年级 全国 竞赛)已知二次函数的顶点坐标为,则二次函数的图象与轴的交点个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无法确定 16.(2024九年级 全国 竞赛)已知抛物线的图像如图所示,则代数式的值( ) A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.无法确定符号 17.(2024九年级 全国 竞赛)如图,抛物线的对称轴为直线,与轴的其中一个交点为,根据图示信息得到下列结论:①;③;③;④抛物线与轴的另一个交点为;⑤若点都在抛物线上,则有.其中正确的结论有( ). A.①②③ B.③④ C.②④⑤ D.③④⑤ 18.(2024九年级 全国 竞赛)如图,二次函数在第一象限的图象上有三点、、,这三点的横坐标为连续的三个整数、、,过这三点分别作轴的垂线,垂足分别为点、、,直线交线段于点,则的长度为( ) A. B. C. D. 三、解答题 19.(2024九年级 全国 竞赛)已知抛物线的图象与轴相交于两点,与轴相交于点,顶点为点,且方程的根同时满足一元二次方程. (1)求的面积与的面积之比; (2)若,求抛物线的解析式. 20.(2024九年级 全国 竞赛)某经销商销售某种产品的累积利润(万元)与销售时间(月)之间满足如下关系式:. (1)求出这个函数的顶点坐标,画出函数图象,并根据图象判断销售这种产品是从什么时候开始盈利的? (2)这个经销商第6个月的利润是多少? 21.(2024九年级 全国 竞赛)如图,在平面直角坐标系中有一点,将二次函数的图象从点沿的方向平移,直到顶点与点重合为止. (1)设二次函数的图象在平移的过程中与直线的交点为点,且顶点的横坐标为,①用含的代数式表示点的