3.1.2 表示函数的方法 学案-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

3.1.2　表示函数的方法 【学习目标】 1.掌握函数的三种表示方法:解析法、列表法、图象法.(数学抽象) 2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.(逻辑推理) 3.会作函数的图象并从图象上获取有用的信息.(直观想象) 【自主预习】 预学忆思 　　在初中我们已经学习过函数的三种表示方法:列表法、图象法和解析法.下表列出的是正方形面积的变化情况: 边长x/m 1 1.5 2 2.5 3 面积y/m2 1 2.25 4 6.25 9 1.这份表格表示的是函数关系吗? 2.表格中只给出了x与y的五对函数值,当x在(0,+∞)变化时,如何表示正方形的边长与面积的关系式? 3.列表法和解析法都不能直观地看出y是如何随着x的变化而变化的,如何形象直观地表示出函数的变化情况呢? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用解析法表示. (　　) (2)任何一个函数都可以用图象法表示. (　　) (3)函数f(x)=2x+1不能用列表法表示. (　　) (4)函数图象一定是一条连续不断的曲线. (　　) 2.已知函数f(x)由下表给出,则f(3)=(　　). x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.不存在 3.已知函数f(x)=x-,且此函数图象过点(5,4),则实数m的值为　　　　.  4.已知函数f(2x+1)=6x+5,则f(x)的解析式是　　　　.  【合作探究】 探究1：解析法 情境设置 　　网购女鞋时,常常会看到一张女鞋尺码对照表如下,第一行是我们习惯称呼的“鞋号”(单位:号),第二行是脚长(单位:mm). 鞋号 35 36 37 38 39 脚长 225 230 235 240 245 　　问题1:根据表中数据,试问“脚长”与“鞋号”之间是函数关系吗?若是,则是什么函数关系? 问题2:你能求出“脚长”与“鞋号”之间的函数关系吗? 问题3:根据表中数据,如果他们家正好有一款“32号”的女鞋在搞打折,那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是多少? 新知生成 1.待定系数法求函数解析式 当已知所要求的解析式f(x)的类型时,如是一次函数、二次函数等,即可设出f(x)的解析式,然后根据已知条件确定其系数. 2.已知f(g(x))=h(x)求f(x),常用的三种方法: (1)换元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一个含t的解析式,即函数f(x)的解析式,注意换元后新元的范围. (2)配凑法,即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可. (3)方程组法,当同一个对应关系中含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数的关系时,可构造方程组求解. 新知运用 例1　(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式; (2)已知f(+1)=x+2,求f(x); (3)已知2f+f(x)=x(x≠0),求f(x). 方法指导　(1)利用待定系数法求解;(2)用换元法或配凑法求解;(3)构造方程组求解. 【方法总结】1.如果已知函数类型,可以用待定系数法求函数解析式. 2.如果已知f(g(x))的表达式,想求f(x)的解析式,可以设t=g(x),然后把f(g(x))表达式中的每一个x都换成t的表达式. 3.如果条件是一个关于f(x),f(-x)或f的方程,我们可以利用x的任意性进行赋值,如把每一个x换成-x或,其目的是再得到一个关于f(x),f(-x)或f的方程,然后利用消元法消去f(-x)或f. 巩固训练 1.已知函数f(x)=x2,g(x)为一次函数,且一次项系数大于零,若f(g(x))=4x2-20x+25,求g(x)的表达式. 2.已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x). 探究2：列表法 情境设置 　　某同学购买x(x∈{1,2,3,4,5})张单价为20元的科技馆门票,需要y元. 问题1:你能用解析法将y表示成x的函数吗? 问题2:你能用列表的形式将y表示成x的函数吗? 　　问题3:一个函数是否可以同时用解析法和列表法表示呢? 新知生成 1.列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. 2.列表法的优点是具体易用,不懂数学运算的人也能查表做事,缺点是不够全面. 新知运用 例2　某商场新购进了10台彩电,每台售价3000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,用列表法表示出来. 【方法总结】列表法,不用计算,看表就能知道函数值,