大题强化及变式训练（20）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届大题强化训练及变式训练（20） 1．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且. （1）证明：平面； （2）当二面角为时，求. 变式：如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 2．已知函数(其中为常数且)在处取得极值. (1)当时，求的极大值点和极小值点； (2)若在上的最大值为1，求的值. 变式：己知函数，其中. （1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值; （2）是否存在实数，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，说明理由. 3．红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4 （1）用模拟生产食品淀粉年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； （2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元） 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② 161 29 20400 109 603 ③ 变式：当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表． 1 2 3 4 5 6 1 1.5 3 6 12 （1）公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位） （2）根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少? 经验回归方程 残差平方和 参考公式及数据：，，，，，，，， ． 4.在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点． （1）求曲线K的方程； （2）过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若且直线OP与直线交于Q点．求的值； （3）若点D、E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值． 变式：在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于M，N两点在第一象限）. （1）当时，求直线的方程; （2）若三角形OMN的外接圆与曲线交于点（异于点O，M，N）， （i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值; （ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围. 5．已知数列，记集合. （1）若数列为，写出集合； （2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； （3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值． 变式：物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．（参考数据：，，，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届大题强化训练及变式训练（20） 1．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且. （1）证明：平面； （2）当二面角为时，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据得到证明； （2）求出平面的法向量，根据二面角的大小列出方程，求出. 【解析】（1）因为平面，平面， 所以， 又， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，，建立空间直角坐标系， 设， ∵， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故 ， 故平面； （2）平面的一个法向量， ， . 变式：如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】（1）证明见解析； （2）1 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，