专题04 因式分解（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

专题04 因式分解 【题型1 因式分解的定义】 【题型2 公因式】 【题型3 提公因式】 【题型4 因式分解-公式法】 【题型5 提公因式与公式法综合】 【题型6 十字相乘法】 【题型7 分组分解法】 【题型8 因式分解的应用】 知识点1：因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 知识点2：公因式 像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 知识点3：提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 知识点4：公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 知识点5：提公因式与公式法综合 （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 知识点6：十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ． 知识点7：分组分解法 定义：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法． 分组分解的步骤 1. 将原式的各项适当分组； 2. 对每一组进行处理（“提”或“代”）； 3. 将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 知识点8：因式分解的应用 因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式，如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不变的条件下，写成一个乘积的形式，而有些运算积比和算起来要简单，因此因式分解在解决实际问题中有着重要应用 【题型1 因式分解的定义】 1．（2023秋•自贡期末）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．2x（x﹣3）＝2x2﹣6x B．12m2n＝3m2•4n C．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） 2．（2023秋•保定期末）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3 C．x2•5x＝5x3 D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2 【题型2 公因式】 3．（2023秋•自贡期末）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．2x（x﹣3）＝2x2﹣6x B．12m2n＝3m2•4n C．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） 4．（2023秋•保定期末）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．a2﹣2a+3＝a（a﹣