通关秘籍02 平面向量（易错题+三大题型）-备战2024年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

秘籍02 平面向量 目录 【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测 【应试秘籍】总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影 【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略 【题型一】奔驰定理 【题型二】 极化恒等式 【题型三】 等和线 概率预测 ☆☆☆☆ 题型预测 选择题、填空题☆☆☆☆☆ 考向预测 投影向量的概念 平面向量是近几年小题的热点必考题型，主要考察学生对于向量的转化也就是基底思想的熟练程度，包含了对于复杂知识的简单化也就是化归与转化的思想的掌握。近几年的向量也出现过单选的压轴题，考察的大多为向量的三大定理之一。还有新教材新加的投影向量也是今年的热门知识点。注意题目的问法，分清投影向量、向量的投影和投影向量的模之间的区别。 易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影 1.同方向单位向量：的同方向单位向量为，指的是方向和相同，模长为1的向量。 2.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影. 3.投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为. 4. 向量在方向上的投影向量：设为、的夹角，则为在方向上的投影向量. 5.向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积. 易错提醒：1. 投影和投影向量的模都是数量，区别在于投影有正负，投影向量的模永远是正值。 2.投影向量结果是向量，所以是其投影（大小）乘上其同方向单位向量（方向）。 例 （多选）（2023·海南·模拟预测）已知向量，则（    ） A．若，则 B．在方向上的投影向量为 C．存在，使得在方向上投影向量的模为1 D．的取值范围为 变式1：（2024·辽宁鞍山·二模）已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式2：（多选）（2024·广东广州·一模）已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 变式3：（2024·青海·一模）已知向量，，则向量在方向上的投影为 ． 【题型一】奔驰定理 为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 奔驰定理与三角形四心的关系： 一、三角形的“重心” 1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 二、三角形的“垂心” 垂心的定义：高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 奔驰定理推论：， . 三、三角形的“内心” 1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， 四、三角形的“外心” 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等 2、常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、若，则是的外心. 【例1】（2021·四川凉山·三模）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题： ①若是的重心，则有； ②若成立，则是的内心； ③若，则； ④若是的外心，，，则. 则正确的命题有 . 【例2】（多选）（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【例3】（2023高一·江苏·专题练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式1】（2023·吉林·