专题03 五大类立体几何题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）

专题03 五大类立体几何题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版） 【题型1 线面平行问题（刻度尺平移大法）】 【题型2 线面垂直问题（勾股定理妙解）】 【题型3 点面距离（体积求算）问题】 【题型4 线面夹角问题（两大法）】 【题型5 面面夹角问题（两大法）】 基础工具：法向量的求算 待定系数法：步骤如下： ①设出平面的法向量为． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量，． ③根据法向量的定义建立关于的方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． 注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量． 秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减） 向量，是平面内的两个不共线向量，则向量是平面的一个法向量. 特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解. ：线面平行问题 线面平行：关键点①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像） ：中位线型 如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点.求证：平面. 分析： ：构造平行四边形 如图⑵, 平行四边形和梯形所在平面相交，//，求证：//平面. 分析：过点作//交于， 就是平面 与平面的交线，那么只要证明//即可。 ：作辅助面使两个平面是平行 如图⑶，在四棱锥中，底面为菱形， 为的中点，为的中点，证明：直线 分析：：取中点，连接，只需证平面∥平面。 ：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。 已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ（如图）．求证：PQ∥平面CBE． 如图⑸，已知三棱锥，是,,的重心.(1)求证：∥面； （向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。 如图⑹，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．证明平面； 分析：因为侧棱底面，底面是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。 证明：如图，建立空间直角坐标系． 设，则 ，． 因为轴垂直与平面，故可设平面的法向量为=（0，1，0） 则：=0因此，所以平面． 如图，三棱柱中，为底面的重心，． (1)求证：∥平面； (2)若底面，且三棱柱的各棱长均为6，设直线与平面所成的角为，求的值． 如图，平行六面体中，分别为的中点，在上. (1)求证：平面； (2)若平面，求平面与平面的夹角的余弦值. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．    (1)若，证明：平面； (2)若二面角的正弦值为，求BQ的长． 1．如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点． 求证：平面； 2．如图，在四棱锥中，平面，， 为棱的中点． 求证：//平面； 3．如图，在四棱锥中，平面，，，．    (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小． 条件①：； 条件②：平面． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 4．如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点． 求证：当为中点时，平面； 5．如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点.，. 证明：平面，且； 6．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面，，是的中点，作交于．    求证：平面； 7．在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，. (1)证明：四边形ABCD为菱形； (2)E为棱PB上一点（不与P，B重合），证明：AE不可能与平面PCD平行. 8．如图，在平行六面体中，，，，，点为中点．    证明：平面； 线面垂直问题（勾股定理妙解） 必记结论：①特殊的平行四边形边长之比1:2，夹角为，则对角线与边垂直 ②特殊的直角梯形边长之比1:1:2,对角线与腰垂直 ③等腰三角形三线合一，三线与底垂直 ④直径所对的圆周角为直角 ⑤菱形和正方形：对角线互相垂直 ⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1：有明显的直角关系 要证线面垂直，只需让线垂直于平面内两条相交直线即可 如：要证平面； 第一步：表示,表示（）中的两个 第二步： 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，． 求证：平面． 如图，在三棱柱中，平面，. 求证：平面； 三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，，分别