精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题

2023-2024学年高一年级下学期第一次月考试卷 数学 满分：150分 时量：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 的三内角所对边分别为，若，则角的大小（ ）． A. B. C. D. 2. 已知，虚数单位，若，则（ ） A B. C. D. 3. 已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角的对边分别为，且，，，则 A B. C. 或 D. 或 5. 化简 A. B. C. D. 6. 设的内角所对的边分别为,若,则的形状为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 7. 已知向量，，则下列命题中错误的是（ ） A. B. 与向量垂直的一个单位向量是 C. D. 向量在向量上的投影向量是 8. 在中，、、分别为内角、、的对边，，，点为线段上一点，，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足，下列结论正确的是（ ） A. P0点的坐标为（2，1） B. 复数共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称 C. 复数z对应的点P在一条直线上 D. P0与复数z对应的点P间的距离的最小值为 10. 计算下列各式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 函数的图象关于点对称 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递减 12. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，，则 C. 若O为的内心，，则 D. 若O为的垂心，，则 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知复数，则________． 14. 已知向量，，若，则m=________． 15. 设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是___. 16. 将函数图象与直线的所有交点从左到右依次记为，，…，若P点坐标为（0，1），则________． 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知复数，i为虚数单位． （1）当z是纯虚数时，求m的值； （2）当时，求． 18. 已知平面向量满足与的夹角为． （1）求； （2）当实数何值时，． 19. 如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C. （1）求小岛A到小岛C的距离； （2）如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向. 20. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集． 21. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题： 已知的内角，，所对的边分别为，，，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求. 22. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． （1）设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由． （2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一年级下学期第一次月考试卷 数学 满分：150分 时量：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 的三内角所对边分别为，若，则角的大小（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】解：由余弦定理得， 因为，所以. 故选：B 2. 已知，是虚数单位，若，