6.2 函数的极值课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

6.2 函数的极值 天 的 容 内 今 函数的极值 1 【复习旧知，引入新知】 【相关回顾】 导函数的符号与函数的单调性之间的关系： 如果在某个区间内，函数y=f (x)的导数f ′(x)＞0，则在这个区间上，函数y=f (x)是增加的； 如果在某个区间内，函数y=f (x)的导数f ′(x)＜0，则在这个区间上，函数y=f (x)是减少的. 观察图像： 3.函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点? y x O a b y=f(x) x1 f (x1) x2 f(x2) x3 f(x3) x4 f(x4) 【复习旧知，引入新知】 1.说出函数 y=f (x)的单调区间 2.说出这个函数 y=f (x)的值域 极值的概念. 如图（1），在包含x0的一个区间(a，b)上， 函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于x0处的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值. a x0 y O x （1） b 如图（2），在包含x0的一个区间(a，b)上， 函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于x0处的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值. y a b x0 O x （2） 极大值点与极小值点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值. 【概念学习】 我们不难得出以下结论： 如图(5)，如果函数y=f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则 x0是极大值点，f(x0)是极大值. y a b x0 O x （5） y a b x0 O x （6） 【探究新知】 如图(6)，如果函数y=f(x)在区间(a，x0) 上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值. 【探究新知】 结合导数与函数单调性的关系，我们可以得到如下表格： x (a，x0) x0 (x0，b) f ′(x) ＋ － y=f (x) 增加↗ 极大值 减少↘ x (a，x0) x0 (x0，b) f ′(x) － ＋ y=f (x) 减少↘ 极小值 增加↗ y a b x0 O x （5） y a b x0 O x （6） y a b x1 x2 x3 x4 O x f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) f(a) f(b) （3） 2.函数极值点可以有多个吗？ 3.端点可能是极值点吗？ 【概念剖析】 练习1,如图（3） 1.指出该函数的极值点与极值. 【概念剖析】 （4） × × × × 练习2,判断对错 1.极值点是 函数图像上的一点 2.极大值一定大于极小值 3.一个函数的极值是唯一的 4.函数y=|x|没有极值 5.单调函数一定没有极值 √ 【探究新知】 结合导数与函数单调性的关系，我们可以得到如下表格： x (a，x0) x0 (x0，b) f ′(x) ＋ － y=f (x) 增加↗ 极大值 减少↘ x (a，x0) x0 (x0，b) f ′(x) － ＋ y=f (x) 减少↘ 极小值 增加↗ y a b x0 O x （5） y a b x0 O x （6） 判断函数极值的方法 【探究新知】 一般情况下，若x0满足f ′ (x0)=0，且 在x0的两侧f (x)的导数异号，则x0是f (x)的 极值点，f (x0)是极值. 充分必要条件是： 的两侧，导数异号 如果f ′ (x) 在x0两侧满足“左正右负”， 则x0是f (x)的极大值点，f (x0)是极大值； 如果f ′ (x) 在x0两侧满足“左负右正”， 则x0是f (x)的极小值点，f (x0)是极小值. 【例题分析】 例1.求函数 的 极值. x f ′(x) y ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 图像欣赏 【抽象概括】 1.求出导数f ′(x). 2.解方程f ′(x)=0. 3.对于方程f ′(x)=0的每一个解x0，分析 f ′(x)在x0左、右两侧的符号， 确定极值点： (1)若f ′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点； (2)若f ′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；