4.3 二倍角的三角函数公式（2知识点+9题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

学科网（北京）股份有限公司 4.3二倍角的三角函数公式 课程标准 学习目标 1.重点：学习运用二倍角公式 2.难点：变形、逆用二倍角公式 1.了解二倍角公式的推导过程; 2.掌握二倍角公式、理解公式的结构特点; 3.能用二倍角公式解题. 知识点01 二倍角公式 1、正弦二倍角： 2、余弦二倍角： 3、正切二倍角： 【即学即练1】（23-24高一上·云南·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 半角公式 1、正弦半角公式：sin ＝±， 2、余弦半角公式：cos ＝±， 3、正切半角公式：tan ＝±＝＝. 【即学即练2】（22-23高一下·江苏南京·期末）已知，，则 . 【题型一：正弦二倍角公式】 例1．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）若，则的值为 . 变式1-1．（23-24高一上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点，则的值为 ． 变式1-2．（2023高一上·全国·专题练习），则 . 变式1-3．（23-24高一上·重庆·期末）已知，则 . 【方法技巧与总结】 常见结论推广： 1. 2. 【题型二：正弦二倍角公式的逆用】 例2．（20-21高一下·安徽蚌埠·期末）求值： ． 变式2-1．（22-23高一上·吉林长春·期末）设，则“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-2．（23-24高一上·河北邯郸·期末）若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 变式2-3．（22-23高一下·山西忻州·开学考试）彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案､彝族漆器图案､彝族银器图案等．其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺线均匀分布，将其简化抽象后得到图2，若，则的值为 ． 【方法技巧与总结】 常见结论推广： 【题型三：余弦二倍角公式】 例3．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知，则 ． 变式3-1．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）已知，且，则 . 变式3-2．（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点在第三象限，且．则（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知，则的值为 . 【方法技巧与总结】 常见结论推广： 1. ; 2. ; 3. ; 【题型四：余弦二倍角公式的逆用】 例4．（22-23高一下·云南保山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（21-22高一下·四川成都·期末）已知函数，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（20-21高一上·北京·期末）如果函数的图像可以通过的图像平移得到，称函数为函数的“同形函数”.在①；②；③；④中，为函数的“同形函数”的有 .（填上正确选项序号即可） 【方法技巧与总结】 常见结论推广： 1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝. 2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α. 【题型五：正切二倍角公式】 例5．（23-24高一上·山西长治·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，则的值为 . 变式5-2．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在中，，则的值为(    ) A． B． C． D． 变式5-3．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于、两点，且，已知点的坐标为． (1)求的值； (2)求的值． 【方法技巧与总结】 常见结论推广： .2. 【题型六：正切二倍角公式逆用】 例6．（22-23高一下·湖南益阳·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（22-23高一下·北京海淀·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D．或 变式6-2．（多选）（22-23高一下·湖北·期末）下列各式的值为是（    ） A．