4.1同角三角函数的基本关系式（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

4.1同角三角函数的基本关系式 课程标准 学习目标 (1)理解并掌握同角三角函数基本关系式的 推导及应用; (2)会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明。 (1)通过推导三角函数的基本关系，培养逻辑推理等核心素养; (2)通过同角三角函数基本关系的应用，提升数学运算等核心素养。 知识点01 同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即＋＝1. 2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝其中≠kπ＋(k∈Z)． 【即学即练1】（23-24高一上·山东聊城·期末）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 知识点02 同角三角函数的基本关系式的变形 1．平方关系式的变形： =1-, =1-， 2．商数关系式的变形 =, =. 【即学即练2】（23-24高一上·山东济南·期末）已知为第二象限角，若，则的值为 . 【题型一：知一求二】 例1．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 变式1-1．（22-23高一下·上海松江·阶段练习）已知，则 变式1-2．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）若，且为第四象限角，则的值为 变式1-3．（23-24高一上·新疆·期末）﹐是第三象限角， ． 【方法技巧与总结】 三角函数求值问题处理方法 1、同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是"知一求二"，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负. 2、已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及（sin αcosα）2=1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口· 【题型二：化简求值】 例2．（23-24高一上·河北保定·期末）若为第二象限角，则（    ） A．1 B． C． D． 变式2-1．（23-24高一上·湖南·期末）化简： 变式2-2．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若为第二象限角，则可化简为 . 变式2-3．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知 (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求，. 【方法技巧与总结】 同角三角函数关系化简常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称； (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号； (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简． 【题型三：齐次化问题】 例3．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．2 变式3-2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，则 ． 变式3-3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值 (1)； (2). 【方法技巧与总结】 1.已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的． 2.对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值． 3.齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养． 【题型四：与 的关系】 例4．（多选）（2022高一上·全国·专题练习）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，则的值为 ． 变式4-2．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）已知，则 变式4-3．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，且，则 ． 【方法技巧与总结】 1.sin θ＋cos θ，sin θcos θ，sin θ－cos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”． 2.求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号． 【题型五：平方关系求参数】 例5．（21-22高一上·全国·课时练习）已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D． 变式5-1．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 变式5-2．（21-22高一下·辽宁沈阳·开学考试）已知，，且．则实数的值 ． 变式5-3．（21