6.5.2平面与平面垂直（3知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

6.5.2平面与平面垂直 课程标准 学习目标 1、借助长方体,通过直观感知,了解平面与平面垂 直的关系,并归纳出面面乖直的判定与性质定理、 2、能运用直观感觉、定理和已获得的结论证明空 间基本图形位置关系的命题.。 1、能够了解用数学语言表达的面面垂直的判定与性质定理. 2、了解面面垂直的判定与性质定理的条件与结论之间的逻辑关系. 3、掌握一些基本命题的证明,并有条理地表述论证过程. 知识点01 二面角 1、二面角的概念 概念 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面. 图示及记法 棱为l，而分别为α和β的二而角记为α-l-β.如图所示. 也可以在a和β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二而角记作P-l-Q 2、二面角的平面角 定义 在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角. 图示 范围 0°≤∠AOB≤180° 规定 ①二面角的大小用它的平面角_的大小来度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小.平面角是直角的二面角称为直二面角. ②一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中， 不大于90°的角的大小. 【即学即练1】（2024高一下·全国·专题练习）如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为 ． 知识点02 平面与平面垂直的判定定理 1、平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)画法： (3)记作：α⊥β. 2、平面与平面垂直的判定定理（简称面面垂直的判定定理）： 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 【即学即练2】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点. (1)求证：平面; (2)求证：平面平面; 知识点03 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直 ②作面的垂线 【即学即练3】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，是四边形所在平面外的一点，G为边中点，四边形是且边长为的菱形．为正三角形，且平面⊥平面. 求证： (1)⊥平面； (2). 【题型一：面面垂直的概念辨析】 例1．（23-24高一下·云南昆明·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若，则 D．若 ，则 变式1-1.（23-24高一下·浙江绍兴·期中）已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2.（2024高一下·全国·专题练习）已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式1-3.(多选)（23-24高一下·广东广州·期中）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【方法技巧与总结】 理解面面垂直的判定定理注意以下几点： （1）定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”，因此要证明平面与平面垂直，只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线，即证“线面垂直”. （2）两个平面垂直的判定定理，不仅仅是判定两个平面垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据. （3）要证 a⊥β，可证α经过β的某一条垂线，也可证明β经过α的某一条垂线． 【题型二：面面垂直的判定定理】 例2．（2024高一下·全国·专题练习）已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．求证：平面平面． 变式2-1.（2024高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，．证明：平面平面； 变式2-2．（23-24高一下·浙江金华·期中）如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为O，四边形为梯形，. (1)若，求证：平面； (2)若，求证：平面平面. 变式2-3．（19-20高一下·全国·课后作业）如图所示，在矩形中，已知，是的中点，沿将折起至的位置，使.求证：平面平面. 【方法技巧与总结】 证明平面