专题13 二次函数与几何综合-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题13 二次函数与几何综合 目录 热点题型归纳 1 题型01 二次函数与相似三角形综合 1 题型02 特殊几何图形存在性问题 13 题型03 最值问题 35 中考练场 40 题型01 二次函数与相似综合 【解题策略】 二次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质． 【典例分析】 例.（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．    (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值； (3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式演练】 1．（2023·广西梧州·一模）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴交于点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图1，若点为抛物线在第三象限图象上的点，且，求点的坐标； (3)如图2，点是抛物线上一动点，连接交线段于点当与相似时，求点D的坐标． 2．（2023·山东泰安·二模）抛物线过，，三点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，抛物线上一点在线段的上方，交于点，，求点的坐标； (3)如图②，为抛物线顶点，过作直线，点在轴上运动，是否存在这样的点、，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 3．（2023·广东汕尾·二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（B在A的左边），与y轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)如图，若点P是第二象限内抛物线上的一动点，过点P作轴于点M，交于点E，连接，是否存在点P，使得与相似？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型02 特殊几何图形存在性问题 【解题策略】 考查了三角形、四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 【典例分析】 例1．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18    (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求点的坐标； (3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标； (3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由． 例3．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标； (3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标． 例4．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； (3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【变式演练】 1．（2023·辽宁阜新·二模）如图，抛物线（、是常数）的顶点为，与轴交于、两点，其中，，点从点出发，在线段上以单位长度/秒的速度向点运动，运动时间为秒，过作交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； (3)点出发的同一时刻，点从点出发，在线段上以单位长度/秒的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A和点C，与x轴交于点B． (1)求这个二次函数的表达式； (2)抛物线对称轴与直线交于点D，若P是直线上方