2025届高三数学一轮复习夯实练54：几何法求线面角、二面角及距离

一轮复习夯实练54　几何法求线面角、二面角及距离 基础练 1.(2024·陕西绥德中学校考)已知直线l和平面α所成的角为,则直线l和平面α内任意直线所成的角的取值范围为(　　) A.[0,] B.[] C.(0,) D.[] 2.如图,三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形,AB⊥BB1,B1C1⊥BB1,则二面角A-BB1-C的大小是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 3.(2024·湖南长沙模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在线段BB1上运动,则下列直线与平面AD1E的夹角为定值的是(　　) A.B1C B.BC1 C.A1C D.AC1 4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,AB=AP=2,点E,F分别是PC,PD的中点,则点C到平面AEF的距离为(　　) A. B. C. D.2 5.(2023·全国乙,理9)已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形,若二面角C-AB-D为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为(　　) A. B. C. D. 6.(2024·河南名校联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠ABC=∠ACD=60°,AB=BC=2,CD=1,且二面角P-BC-A为60°,则四棱锥P-ABCD的侧面积为(　　) A.3+5 B.10 C.3+ D.11 7.(2022·浙江,8)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1,E,F分别是棱BC,A1C1上的点.记EF与AA1所成的角为α,EF与平面ABC所成的角为β,二面角F-BC-A的平面角为γ,则(　　) A.α≤β≤γ B.β≤α≤γ C.β≤γ≤α D.α≤γ≤β 8.(多选题)(2022·新高考Ⅰ,9)已知正方体ABCD -A1B1C1D1,则(　　) A.直线BC1与DA1所成的角为90° B.直线BC1与CA1所成的角为90° C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 9.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,PA=3,PB=PC=BC=6,则二面角P-BC-A的正弦值为　　　　.  10.如图,AB是圆柱OO1的一条母线,BC是底面圆的一条直径,D是圆O上一点,且AB=BC=5,CD=3. (1)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值; (2)求点B到平面ACD的距离. 提升练 11.(2024·海南海口模拟)如图,点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点,直线AP与平面ABCD所成的角为45°,则点P的轨迹长度为(　　) A.π+4 B.4π C.2 D.3+π 12.(2024·广东珠海模拟)如图所示,PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,C为圆上异于A,B的任意一点.若AB=2,PA=,记直线PB与平面PAC所成的角为α,∠ABC=β,则sin αsin β的最大值为(　　) A. B. C. D. 13.如图,△ACD和△BCD都是边长为2的等边三角形,平面ACD⊥平面BCD,BE⊥平面BCD. (1)证明:BE∥平面ACD; (2)若点E到平面ABC的距离为,求平面ECD与平面BCD夹角的正切值. 创新练 14.(2024·江苏淮安模拟)刻漏是中国古代用来计时的仪器,利用附有刻度的浮箭随着受水壶的水面上升来指示时间.为了使受水壶得到均匀水流,古代的科学家们发明了一种三级漏壶,壶形都为正四棱台.自上而下,三个漏壶的上口宽依次递减1寸(约3.3厘米),下底宽和深度也依次递减1寸.自上而下设三个漏壶的侧面与底面所成锐二面角依次为θ1,θ2,θ3,则(　　) A.θ1+θ3=2θ2 B.sin θ1+sin θ3=2sin θ2 C.cos θ1+cos θ3=2cos θ2 D.tan θ1+tan θ3=2tan θ2 参考答案 1.D　解析 根据线面角的定义,线面角是平面外的直线与平面内所有直线所成的角中最小的角,故直线l与α内直线所成角的最小值为,当直线l在α内的射影与平面α内的一条直线垂直时,l与这条直线所成的角为,故直线l与α内直线所成角的范围为[]. 2.C　解析 在三棱台ABC-A1B1C1中,因为B1C1∥BC,且B1C1⊥BB1,所以BC⊥BB1.又AB⊥BB1,且AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,所以B1B⊥平面ABC,所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角.因为△ABC为等边三角形,所以∠ABC=60°. 3. B　解析 连接BC1.因为BC1∥AD1,且AD1⊂平面AD1E,BC1⊄平面AD1E,所以BC1∥平面AD1E,所以BC1与平面AD1E的夹角始终为0°.而