2024年中考数学复习常用几何辅助线添加方法------平行与垂直

常用几何辅助线添加方法------平行与垂直 平 行 方法归纳 (1) 如图，通过平行可以构建同位角、内错角和同旁内角等，实现角度之间关系的转化。 (2) 如图，过角平分线上一点作一边的平行线可以构建等腰三角形(OD=CD)。 (3) 如图，在梯形中添加辅助线时，常常会过一个顶点作一条腰或对角线的平行线来构建平行四边形。 (4) 如图，过三角形一边的中点作另一边的平行线可以得到第三边的中点。 (5) 如图，通过平行可以构建相似三角形。 典型例题 例 3 如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=6,点 P 从点 B 出发沿射线 BA 移动,同时，点 Q 从点 C 出发沿线段AC 的延长线移动，已知点 P，Q 移动的速度相同，PQ 与直线BC 相交于点D。 (1) 如图 1,当点 P 为AB 的中点时,求CD的长。 (2) 如图 2,过点 P 作直线 BC 的垂线,垂足为E，当点 P，Q 在移动的过程中，线段 BE，DE，CD 中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由。 思路点拨 (1) ① 先读题，并在图中标出已知条件。 ② 题目要求 CD 的长度，直接求并不容易求； 根据条件“当点 P 为 AB 的中点时”，即可想到中位线，于是过点 P 作 AC 的平行线交BC 于点 F,如图所示。 ③ 通过观察发现,PF 是△ABC 的中位线，于是可得 再观察可以发现△PFD≌△QCD,于是可以得到 (2) ① 读题后发现的问题是“线段 BE,DE，CD中是否存在长度保持不变的线段”，这种问题需要先猜想，然后才可以得出结论。通过观察发现，BE 的长度会随BP 的长度变化而变化，即可排除一个。再对比题(1)中的特殊情况，发现 CD 的长度会发生变化，而一直有 DE=3。 因此，可以得出结论“线段 DE的长度保持不变”。 ② 由于点 P 与点 Q 一直运动，可以发现有两种情况需要进行讨论：一种是点 P 在线段AB 上时，另一种是点 P 在BA 的延长线上时。辅助线的添加方法可以参考(1)，即可得出相应的结论。 解题过程 解:(1)【方法一】 如图,过点 P 作 PF∥AC 交 BC 于点 F。 ∵点 P 和点 Q 同时出发，且速度相同，∴BP=CQ。 ∵PF∥AQ,∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD。 ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠PFB,∴BP=PF,∴PF=CQ。 又 ∵∠PDF = ∠QDC, ∴△PFD ≌△QCD(AAS),. ∵点 P 是 AB 的中点,PF∥AQ,∴点 F 是BC 的 中 点, 即 【方法二】 如图,分别过点 A,P,Q 作 AG⊥BC,PM⊥BC,QN⊥BC 交 BC 及其延长线于点G,M,N,∴∠PMB=∠PMD =∠AGB =∠AGC=∠QND=90°,∴PM∥AG。 ∵ AB = AC,∴∠B =∠ACB,BG= ∵点 P 为AB 的中点, 。 ∵点 P 和点 Q 同时出发，且速度相同，∴BP=CQ。 ∵∠QCN =∠ACB,∴∠B=∠QCN,∴△PMB≌△QNC(AAS),∴CN=BM= ,PM=QN,∴MN=MD+DC+CN=MD+DC+BM=BC=6。 ∵∠PDM = ∠QDN, ∴ △PDM ≌△QDN(AAS),∴MD=ND= MN=₃, (2) 线段 DE 的长度保持不变，理由如下。 ① 如图,如果点 P 在线段AB 上,过点 P作PF∥AC 交 BC 于点 F。 ∵△PBF 为等腰三角形,∴PB=PF,BE=EF,∴PF=CQ。 又∵PF∥AC,∴FD = DC,∴DE = ∴线段 DE的长度保持不变。 ② 如图,若点 P 在 BA 的延长线上,作PF'∥AC 交 BC 的延长线于 F',∴∠PF'C=∠ACB。 ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B= 又∵PF'∥AC,BP=CQ,∴PF'=CQ,∴ CD = DF', ∴ ED = EF' - DF' = ∴线段 DE 的长度保持不变。 举一反三 【5】(2019·乐山)在△ABC 中,已知 D是 BC 边的中点,G 是△ABC 的重心,过 G 点的直线分别交AB,AC 于点E,F。 (1) 如图1,当 EF∥BC 时,求证: 垂 直 方法说明 如图，过平面内一点作已知直线的垂线的辅助线添加方法叫作垂直。 方法归纳 (1) 如图，通过垂直构建三角形的高(常用于求三角形面积)。 (2) 如图，两直线垂直，通过作另一条直线的垂线可以构建平行线。 (3) 如图，通过作一个角的平分线的垂线可以平分它的邻补角。 (4) 如图，过角平分线上的一点往两边作垂线构建全等三角形。 (5) 如图，过等腰三角形的顶点作底边上的高(三线合一)。 (6) 如图，过圆心作一条弦的垂线可以平分这条弦及其所对的