2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（特殊四边形）

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数压轴题（特殊四边形） 1．如图，在平行四边形中，，点D的坐标是，以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)试判断点是否在此抛物线上． 2．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形； （2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值； （3）如图，△是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)连接、、，试判断的形状，并说明理由； (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D． （1）求抛物线与直线的解析式； （2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值． 5．如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-）2+与⊙M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，点C坐标为（0，-2）． （1）求a值及A，B两点坐标； （2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当∠CPD为锐角时，请求出m的取值范围； （3）点E是抛物线的顶点，⊙M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C′，D′，顺次连接A，C′，D′，E四点，四边形AC′D′E（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M′的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD． （1）若点A的坐标是（﹣4，4） ①求b，c的值； ②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由； （2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为．    (1)求此抛物线和直线的解析式； (2)设直线与该抛物线的对称轴交于点，在线段上是否存在一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，使四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设点是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求出点的坐标，并求出面积的最大值． 8．如图，抛物线经过点A(-3，0)，B(1，0)，且与y轴交于点C，连接BC． (1)求抛物线的表达式； (2)E为抛物线上一动点，且在直线AC上方，当ACE的面积为6时，请直接写出点E的坐标； (3)P为抛物线上一动点，Q为x轴上一动点，当以B，C，Q，P为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点P的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，是该抛物线的顶点．    (1)求的值． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在抛物线对称轴上是否存在点，使？若存在，请求出符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． (4)在（3）的条件下，平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图，二次函数y=x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为 （－3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（－2，－3）. （1）求抛物线的解析式和直线BD解析式； （2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由. 11．在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一点，过点Р作交BC于E，交x轴于点D，求的最大值以及此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线和