天津市第二南开学校2023-2024学年高三上学期12月阶段评估数学试题

第二南开学校高三年级12月阶段评估 数学学科试卷 一、选择题（每小题5分，共45分） 1. 设集合， ，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的的图象大致为（ ） A B. C D. 4. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，且两两垂直，是边长为的正三角形，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆C：x2+y2+8x﹣m+2＝0与直线相交于A，B两点.若△ABC为正三角形，则实数m的值为（ ） A. ﹣10 B. ﹣11 C. 12 D. 11 6. 设函数（，）的最小正周期为，其图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象过点 B. 在上单调递减 C. 的一个对称中心是 D. 将图象向左平移个单位长度得到函数的图象 7. 已知奇函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线与抛物线y2＝2px（p＞0）交点为A、B，A、B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 2 9. 已知函数，若方程有2个不同的实根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 设为虚数单位，计算________． 11. 已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则等于________． 12. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________. 13. 已知M是抛物线图象上的一点，F是抛物线的焦点，若，则_______． 14. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______. 15. 平面四边形ABCD满足，，，则的值为______． 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，a，b，C为内角A，B，C的对边，且满足. （1）求角B大小； （2）已知，， （i）求b及； （ii）求. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，M，N分别为线段，上的点（不在端点）. （1）当M为中点时，，求证：面； （2）当M为中点且N为中点时，求证：平面平面； （3）当N为中点时，是否存在M，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由. 18. 已知椭圆的离心率，椭圆上的点到其左焦点的最大距离为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆相交于点，则轴上是否存在点，使得线段，且？若存在，求出点坐标；否则请说明理由． 19. 已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.，. （1）求和的通项公式； （2）设数列满足，其中， ①求数列的通项公式： ②求. 20. 已知函数，（为自然对数的底数）． （1）求曲线在处的切线方程 （2）若不等式对任意恒成立，求实数的最大值； （3）证明：． 第二南开学校高三年级12月阶段评估 数学学科试卷 一、选择题（每小题5分，共45分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】4 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【16题答案】 【答案】（1）；（2）（i）；；（ii）. 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，. 【18题答案】 【答案】（1）；（2）或． 【19题答案】 【答案】（1），；（2）①，②. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$