2025届高三数学一轮复习夯实练53：空间直线、平面的垂直

一轮复习夯实练53　空间直线、平面的垂直 基础练 1.(2024·陕西咸阳模拟)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有以下四个命题: ①若m∥n,n⊂α,则m∥α ②若m⊂α,m⊥β,则α⊥β ③若m⊥α,m⊥β,则α∥β ④若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n 其中正确的命题是(　　) A.②③ B.②④ C.①③ D.①② 2.(2024·辽宁辽阳模拟)在四面体ABCD中,△BCD为正三角形,AB与平面BCD不垂直,则下列说法正确的是(　　) A.AB与CD可能垂直 B.A在平面BCD内的射影可能是B C.AB与CD不可能垂直 D.平面ABC与平面BCD不可能垂直 3.(2024·上海闵行模拟)如图,对于直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,要使A1C⊥B1D1,则在四边形ABCD中,满足的条件可以是　　　　.(只需写出一个正确的条件)  4.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证: (1)PA⊥平面ABCD; (2)平面BEF⊥平面PCD. 5.(2024·江西九江模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,D为CC1的中点,BB1=BC. (1)证明:平面AB1C⊥平面ABD; (2)若AB=BD=,求三棱锥B1-ABD的体积. 提升练 6.(多选题)(2024·广东珠海高三检测)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱CC1上异于端点的动点,Q为棱AA1的中点,直线m为平面PBD与平面PB1D1的交线.下列结论中正确的是(　　) A.m⊥PQ B.m∥平面B1D1Q C.m⊥平面A1ABB1 D.四棱锥P-B1BDD1的体积为定值 7. (2022·全国甲,文19)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示,底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直. (1)证明:EF∥平面ABCD; (2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度). 创新练 8.(2022·全国乙,文18)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点. (1)证明:平面BED⊥平面ACD; (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求三棱锥F-ABC的体积. 参考答案 1.A　解析 若m∥n,n⊂α,则m∥α或m⊂α,命题①错误;由面面垂直的判定定理可知,命题②正确;垂直于同一条直线的两个平面互相平行,命题③正确;若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m,n可能相交,可能平行,可能异面,不一定互相垂直,命题④错误. 2. A　解析 当四面体ABCD为正四面体时,如图所示,点A在平面BCD上的射影为点O,即OA⊥平面BCD.由于CD⊂平面BCD,所以OA⊥CD.延长BO交CD于点F,则CD⊥BF.由于AO∩BF=O,AO,BF⊂平面ABO,所以CD⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO,所以AB⊥CD.所以A正确,C错误.若点A在平面BCD内的射影是点B,则AB与平面BCD垂直,与已知矛盾,B错误.平面ABC与平面BCD可能垂直,D错误. 3.A1C1⊥B1D1(只要使得A1C⊥B1D1即可) 解析 连接A1C1,如图所示.因为CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,则B1D1⊥CC1.若A1C1⊥B1D1,又A1C1∩CC1=C1,CC1,A1C1⊂平面A1CC1,所以B1D1⊥平面A1CC1,因为A1C⊂平面A1CC1,所以A1C⊥B1D1. 4.证明 (1)∵平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,∴PA⊥平面ABCD. (2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,∴AB∥DE,AB=DE, ∴四边形ABED为平行四边形. ∵AB⊥AD,∴四边形ABED为矩形, ∴BE⊥CD,AD⊥CD. ∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD. 又PA,AD⊂平面PAD,且PA∩AD=A, ∴CD⊥平面PAD. ∵PD⊂平面PAD,∴CD⊥PD. ∵E和F分别是CD和PC的中点, ∴PD∥EF,∴CD⊥EF. 又CD⊥BE,EF∩BE=E,EF,BE⊂平面BEF,∴CD⊥平面BEF. ∵CD⊂平面PCD, ∴平面BEF⊥平面PCD. 5.(1)证明 ∵ABC-A1B1C1为直三棱柱, ∴AB⊥BB1. 又AB⊥BC,BC∩BB1=B,BC,BB1⊂平面BB1C1C, ∴AB⊥平面BB1C1C. ∵B1C⊂平面BB1C1C,∴B1C⊥AB. 设B