4.4.1 方程的根与函数的零点 课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4.4 函数与方程 1 4.4.1 方程的根与函数的零点 2 1.理解函数的零点与方程的根的关系.（数学抽象、直观想象） 2.掌握函数零点的性质.（逻辑推理） 3.掌握函数零点个数的判断方法以及零点分布情况.（逻辑推理、直观想象） 学习目标 3 下图为函数 在 上的图象. 1.根据函数的图象能否得出方程 的根 的个数？ [答案] 方程 的根即为函数 的图 象与 轴交点的横坐标，由图可知，方程有3 个根，即 或 或 . 自主预习 4 2.方程的根与对应函数的图象有什么关系？ [答案] 方程的根是使函数值等于零的自变量的值，也就是函数图象与 轴交点的横坐标. 3.怎样认识函数的零点？ [答案] （1）函数的零点的本质是方程 的实数根，因此，函数的零点不是点， 而是一个实数. （2）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没 有零点，反映在图象上就是函数图象与 轴无交点. 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）函数的零点是一个点.( ) × （2）任何函数都有零点.( ) × （3）函数 的零点是 .( ) × （4）若函数 满足 ，则函数在区间 上至少有一个零点.( ) × （5）函数的零点不是点，它是函数 的图象与 轴交点的横坐标，是方程 的根.( ) √ 6 2.函数 的零点是( ). A A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 令 ,得 .故选A. 3.函数 的零点所在的区间是( ). A A. B. C. D. [解析] ， ， ， ， .因为 ， ， ， ，所以函数 的零点所在的区间是 .故选A. 7 4.若函数 只有一个零点，则实数 _ _______. 0或 <m></m> [解析] 当 时，令 ，解得 ，符合题意；当 时， 为二次函数，因为函数 只有一个零点，所以 ，解得 ，符合题意.故 或 . 8 探究1 方程的根与函数零点的关系 我们知道一元二次方程 ，且 ， ， 的根，就是二 次函数 的零点，也就是函数图象与 轴交点的横坐标. 问题1： 方程 的根与函数 的零点之间是什么关系？ [答案] 易知方程 的根就是函数 的图象与 轴交点的横坐标，即该函 数的零点. 合作探究 9 问题2： 一般地，方程 的根与函数 的零点是什么关系？ [答案] 方程 的根就是函数 的零点. 10 新知生成 方程 的实数根叫作函数 的零点. 新知运用 例1 方程 ， ， 的根分别为 , , ，则 , , 的大小关系为_ _________. <m></m> 方法指导 将方程的根转化为函数图象的交点的横坐标问题，画图即可得出结果. 11 [解析] 由题意可得 ， ， 则 ， ， 分别为 与 ， 与 ， 与 图象的交点的横坐标，如图，在同一坐标系中画出 ， ， ， ， 的图象，可得 . 12 &1& 方程、函数、函数图象之间的关系可以相互转化，求方程的根,可以转为求两函数图象的交点的横坐标，也可以转化为函数的图象与 轴有交点的问题求解. 13 已知 是方程 的一个根， 是方程 的一个根，则 ___. 6 14 [解析] 由题意得 , , 令 , , , 在同一平面直角坐标系中，画出它们的大致图象，如图所示. 设 与 的交点为 , 与 的交点为 ， 根据函数的性质可知 , 两点关于直线 对称， 则 , , 将点 的坐标代入直线方程 ，得 ， . 15 探究2 函数零点的判断 函数 的图象如图所示. 问题1： 函数的零点是什么？ [答案] 1,3. 16 问题2： 判断 与 的符号. [答案] ， ， ， ， . 问题3： 零点存在性定理具备哪些条件？ [答案] ①函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线； . 17 新知生成 一般地，当 从 到 逐渐增加时，如果 连续变化且有 ，那么存在 ，使得 . 如果知道 在 上单调递增或单调递减，就进一步断定，方程 在 内恰有一个根. 18 新知运用 一、探求零点所在区间 例2（1） 在下列区间中，函数 的零点所在的区间为( ). C A. ， B. ， C. ， D. ， [解析] 因为 ， ，所以 ，又因为 函