第2章一元二次函数、方程和不等式 章末小结 课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2章章末小结 1 知识导图 2 &1& 不等式性质的应用 例1 （多选题）设 ， ，则( ). BC A. B. C. D. 题型探究 3 [解析] 因为 ， ，所以 ，所以 ，故A错误； 因为 ， ，所以 ， ， ，所以 ，即 ，故B正确； 因为 ，所以 ， ，则 ，所以 ，故C正确； 取 ， ，可得 ， ，则 ，故D错误. 故选 . 4 小结 判断不等式是否成立，要依据其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩下的就是正确答案了. 5 &2& 解一元二次不等式 例2（1） （2020年全国Ⅰ卷）已知集合 ， ，1，3， ，则 ( ). D A. ， B. ， C. ， D. ， [解析] 由 ，解得 ，所以 ， 又因为 ，1，3， ，所以 ， .故选D. 6 （2）不等式 的解集为_____________. <m></m> [解析] 因为 ，所以 或 解得 ，故不等式的解 集为 . 小结 本题（1）考查的是有关集合的问题，涉及的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算；本题（2）考查简单分式不等式的解法.解题过程渗透了数学运算素养和逻辑推理素养. 7 &3& 含参数的一元二次不等式的解法 例3 求不等式 的解集. 方法指导 先通过移项，通分转化为一元二次不等式，分 ， ， ， ， 的情况讨论求解. 8 [解析] 原不等式可化为 ， 即 ， 当 时，不等式可化为 ，则 ，解不等式得 或 . 当 时，不等式可化为 ，解得 . 当 时，不等式可化为 ， ①当 时， ，解不等式得 ； ②当 时， ，解不等式得 ； 9 ③当 时，不等式无实数解. 综上，当 时，不等式的解集为 或 ； 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 . 小结 解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图象、一元二次方程的解的关系.若含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论. 10 &4& 不等式恒成立问题 例4 已知不等式 ，当 时该不等式恒成立，求实数 的取 值范围. 方法指导 先讨论二次项系数，再灵活选择方法解决恒成立问题. 11 [解析] 令 ， . 当 时， 显然恒成立. 当 时，若 恒成立，则只需 解得 ，所以 . 小结 对于不等式恒成立求参数范围的问题，常用方法是分离参数法或利用不等式与二次函数的关系通过函数图象直观判断. 当 时，函数的图象开口向下，对称轴为直线 ，若 恒成立，则结合二 次函数图象（如图）知，只需 ，解得 ， 符合题意. 综上所述，实数 的取值范围是 . 12 &5& 利用基本不等式求最值 例5（1） （2021年天津卷）若 ， ，则 的最小值为_____. <m></m> [解析] ， ， ，当且仅当 ，且 ，即 时等号成立， 的最小值为 . 13 （2）已知 ，则 的最小值是_ _. <m></m> [解析] （法一）由题意知 ，由 得 ，则 ，当且仅当 ，即 , 时等号 成立，则 的最小值是 . （法二） ，则 ，当 且仅当 ，即 ， 时等号成立，则 的最小值是 . 14 小结 1.基本不等式： 是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. 2.熟练掌握基本不等式的应用，提升学生的数学抽象和数学运算素养. 15 &6& 基本不等式的应用 例6 某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为25元，年销售量为8万件. （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为