第二章一元二次函数、方程和不等式（期中知识清单）高一数学上学期湘教版

第2章 一元二次函数、方程和不等式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 相等关系与不等关系 1.1 实数的大小比较 关于实数 与 大小的比较，有以下基本事实： 反过来也成立。由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了（作差比较法）。 示例：比较 与 的大小。作差得 ，所以 。 1.2 不等式的基本性质 对称性与传递性 性质1（对称性） 如果 ，那么 ；如果 ，那么 。 性质2（传递性） 如果 ，，那么 。 加法性质及其推论 性质3（加法单调性） 如果 ，那么 。这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向。 推论1（移项法则） 如果 ，那么 。这就是说，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等式的另一边。 推论2（同向可加） 如果 ，，那么 。这一推论可以推广为：有限个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向。 乘法性质及其推论 性质4（乘法单调性） 如果 ，，那么 ；如果 ，，那么 。这就是说，在不等式的两边同乘一个正数，不等号的方向不变；若同乘一个负数，则不等号的方向反向。 推论3（同向正数相乘） 如果 ，，那么 。 推论4（乘方） 如果 ，那么 （，）。 推论5（开方） 如果 ，那么 。 倒数性质 性质5（取倒数） 如果 ，且 ，那么 ；如果 ，且 ，那么 。 示例：已知 ，，求证 。由 得 ，再由 及推论2 得 。 1.3 基本不等式 重要不等式 对任意 ，必有 当且仅当 时等号成立。 基本不等式 特别地，当 ， 时，用 、 分别代替上面的 、，可得： 对任意正数 ，必有 当且仅当 时等号成立。一般地，对于正数 ，把 称为 的算术平均数， 称为 的几何平均数。上述不等式称为基本不等式，且可以表述为：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。 图1：赵爽弦图（基本不等式的几何背景） 图2：基本不等式的几何证明 示例：设 为正数，由基本不等式得 ，当且仅当 时等号成立。 1.4 基本不等式的应用 已知 都为正数，则： 1. 如果积 是定值 ，那么当且仅当 时，和 有最小值 ； 1. 如果和 是定值 ，那么当且仅当 时，积 有最大值 。 即”积定和最小，和定积最大”。 示例：把 写成两个正数的乘积，当这两个正数都等于 时，它们的和最小，最小和为 。 2. 从函数观点看一元二次方程 2.1 二次函数与一元二次方程的关系 一般地，设判别式 ，我们有： 判别式 一元二次方程 （）的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数 （）的图象与 轴 有两个交点 有唯一的交点 没有交点 图3：二次函数图象与 轴的交点 示例：一元二次方程 有两个实数根 ，，对应二次函数 的图象与 轴有两个交点 。 2.2 函数的零点 一般地，我们把使得 （）成立的实数 叫作二次函数 的零点。 这样，一元二次方程 的实数根就是二次函数 的零点，也就是函数 的图象与 轴交点的横坐标。 示例： 是二次函数 的两个零点， 是二次函数 的唯一零点，二次函数 没有零点。 2.3 根与系数的关系 一元二次方程 的根与系数的关系为： 示例：设 是方程 的两个根，则 ，。 2.4 十字相乘法 对于二次三项式 ，如果能够找到 满足 ，，且 ，则有因式分解 十字相乘法适用于二次方程 有有理根的情况。 示例：。 3. 一元二次不等式 3.1 一元二次不等式及其解法 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式。 示例：、 都是一元二次不等式。 解形如 或 （其中 ）的一元二次不等式，一般可分为三步： 1. 确定对应一元二次方程 的根； 1. 画出对应二次函数 的大致图象； 1. 由图象得出不等式的解集。 对于二次项系数是负数（即 ）的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再按上述步骤求解。 设 ，，一元二次不等式的解集如下表： 判别式 （两根 ） （） 的解集 的解集 图4：一元二次不等式解集的三种情形 示例：解不等式 。对应方程 的两根为 ，，画出 的图象，得解集为 。 3.2 一元二次不等式的应用 用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤是： 1. 理解题意，分析清楚量与量之间的关系； 1. 建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题； 1. 解这个一元二次不等式得到实际问题的解。 示例：若一元二次不等式 对任意实数 恒成立，则对应二次函数图象开口向上且恒在 轴上方，需 ，解得 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 作差比较法的一般步骤 比较两个代数式 与 的大小，等价于判断 的符号：作差 → 因式分解或配方 → 判断符号 → 下结论。 1.2 糖水不等式 若 ，，则 （真分数的分子、分母同加一个正数，分数的值变大）。 1.3 基本不等式的常用变形 对任意 ，有 ，；对 ，有 ，。 1.4 三个数的平方和不等式 对任意 ，有 ，当且仅当 时等号成立。 1.5 倒数和不等式 对 ，有 ；对 ，有 。 1.6 一元二次不等式恒成立的条件 对任意实数 恒成立的条件是 且 ； 对任意实数 恒成立的条件是 且 。 【使用提醒】 二次项系数 时不等式退化为一次（或常数）不等式，须单独讨论，不能直接套用判别式。 1.7 一元二次方程根的符号判断 设方程 （）的两根为 ：两根同为正数的条件是 ，，；两根异号的条件是 。 【使用提醒】 使用韦达定理（根与系数的关系）判断根的性质时，须先保证 （两根异号的情形已隐含 ，可免验）。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 比较两个代数式的大小 先作差，再通过因式分解或配方把差化为易判断符号的形式。如比较 与 ，作差得 ，故 。 2.2 用不等式性质证明不等式 从已知条件出发，逐条运用不等式的性质与推论（注意每一步不等号方向），逐步推出结论。如由 ， 推出 ：由 得 ，再由 同向相加得 。 2.3 用基本不等式求最值（一正二定三相等） 先确认各数为正（一正），再凑出和为定值或积为定值（二定），最后验证等号能否取到（三相等）。如 时 ，当且仅当 时取等号。 2.4 解一元二次不等式 先化二次项系数为正，再求对应方程的两根，画二次函数大致图象，由图象写解集。如解 ，先化为 ，两根为 ，解集为 。 2.5 由解集反求一元二次不等式的系数 若一元二次不等式的解集已知，则其端点是对应一元二次方程的两根，用根与系数的关系列方程求系数。如 的解集为 ，则 ，，得 ，。 3. 比较大小 / 求最值 / 解不等式小技巧 技巧 要点 示例 作差配方 差式配方成平方和（差），符号立判 赋值排除 判断不等式命题真假，取特殊值快速排除 判断” 则 “，取 即知假 凑定值 用基本不等式前先凑”和定”或”积定” ， 十字相乘 二次项、常数项分别拆因数，交叉和等于一次项 数形结合 解不等式画抛物线：定开口、标根、分区间 解集 4. 常见考试模型 4.1 基本不等式求最值模型 公式： 和定积最大、积定和最小：对正数 ，，当且仅当 时取等号。 限定： 一正（）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到）。 示例： 如 ，求 的最小值，当 即 时取最小值 。 4.2 用料最省 / 利润最大等实际最值模型 公式： 设未知量 → 由实际条件建立和（或积）的表达式 → 用基本不等式求最值 → 检验取等条件是否符合实际。 限定： 所求量须为正且符合实际意义；取等条件须落在实际允许范围内。 示例： 如矩形面积一定时，长、宽相等（即正方形）时周长（用料）最小。 4.3 一元二次不等式恒成立模型 公式： 对任意实数 恒成立的条件是 且 ； 恒成立的条件是 且 。 限定： 只适用于二次项系数 ； 时退化为一次不等式，须单独讨论。 示例： 如 恒成立，则 ，得 。 4.4 一元二次方程根的分布模型 公式： 由 ， 及 判断两根的符号与范围。 限定： 用韦达定理须先保证 ；两根异号时 已隐含 。 示例： 如 有两个正根，需 ，，，解得 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：解二次项系数为负的不等式时，乘 -1 忘记改变不等号方向 典例： 解不等式 。 错解： 两边同乘 得 ，即 ，所以解集为 。 正解： 两边同乘 ，不等号方向改变，得 ，即 ，所以解集为 。 原因： 不等式两边同乘一个负数，不等号方向必须反向。学生只记得”化二次项系数为正”，却漏掉了随之而来的”变号”，导致解集方向完全相反。 易错点 2：用基本不等式求最值时，忽略”各项为正”的前提 典例： 求 （）的最值。 错解： 由基本不等式得 ，所以最小值为 。 正解： 时， 与 均为负，不能直接套用基本不等式。此时 ，，有 ，即 ，当且仅当 时取等号，故最大值为 （没有最小值）。 原因： 基本不等式 只对正数 成立。学生机械套公式，忽略了”一正”的前提，把负数的和误判成有最小值。 易错点 3：用基本不等式求最值时，忽略”等号能否取到” 典例： 求 （）的最小值。 错解： 由基本不等式得 ，所以最小值为 。 正解： 当且仅当 ，即 时取等号，但 ，等号取不到。设 ，则 ，故 在 上单调递增，最小值为 。 原因： 用基本不等式求最值必须满足”三相等”——等号成立的条件要落在题目给定的范围内。学生只看不等式方向，不验证取等条件，把取不到的值误当作最值。 易错点 4：恒成立问题漏掉二次项系数为 0 的退化情形 典例： 若不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围。 错解： 由题意得 且 ，解得 。 正解： 当 时，不等式为 ，恒成立；当 时，需 且 ，解得 。综上， 的取值范围是 。 原因： “ 恒成立”只有在 时才是真正的一元二次不等式。学生见到 项就默认 ，漏掉了 时退化为一次（常数）不等式的讨论，导致漏掉端点 。 易错点 5：解集端点的取舍与”或、且”的混淆 典例： 解不等式 。 错解： 令 得两根 、，于是解集为 （漏写两端点 、）。 正解： 令 得 ，，画出二次函数 的图象，因不等式含”“，两端点应取到，得解集为 。 原因： 对”“中的等号处理不当： 与 是”或”的关系（两部分都能取），且两端点 、 能使式子等于 ，应包含在解集内。学生易漏掉端点，或把”或”误写成”且”。 易错点 6：用韦达定理时未先保证判别式 典例： 已知关于 的方程 有两个实数根 ，且 ，求实数 的值。 错解： 由根与系数的关系得 ，，于是 ，解得 。 正解： 由 得 ；又方程有两个实数根，须满足 ，即 。而 ，不满足，故不存在这样的实数 。 原因： 韦达定理描述的是”方程两根”与系数的关系，使用前必须保证方程确实有两个实数根（）。学生只由两根关系列式求值，忘记回代检验判别式，得到实际上不存在的解。 学科网（北京）股份有限公司 $