5.2.2 同角三角函数的基本关系课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第5章 三角函数 5.2 任意角的三角函数 1 5.2.2 同角三角函数的基本关系 2 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.（逻辑推理） 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.（数学运算） 学习目标 3 1.计算 的正弦、余弦值的平方，然后将其相加，你能得到什么结果？ [答案] 因为 ， ，所以 ， ，所以 . 2.上一问的结论能拓展到任意角吗？ [答案] 可以 ， 为任意角. 自主预习 4 3.同角三角函数的基本关系式有哪两种？ [答案] （1）平方关系： . （2）商数关系： ，其中 4.两种同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？ [答案] 平方关系适合任意角，当 时，商数关系不适合. 5.对任意的角 ， 是否成立？ [答案] 成立. 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）对 ， . ( ) √ （2）对 ， . ( ) × （3）若 ，则 . ( ) × 2.已知 是第四象限角， ，则 _____. <m></m> [解析] 由条件知 . 6 3. ___. 1 4.若 ，且 为第四象限角，则 ____. <m></m> [解析] 因为 为第四象限角，且 ，所以 ，所以 . 7 探究 同角三角函数的基本关系 设 是一个任意象限角， 为角 终边上任意一点，它与原点的距离为 ，则 ， ， . 请根据三角函数的定义回答下列问题： 合作探究 8 问题1： 求下列各式的值. [答案] 取角终边上的点的坐标，代入定义可得： （1） ； [答案] 1； （2） ； [答案] 1； （3） ； [答案] ； 9 （4） . [答案] . 问题2： 你能发现哪些三角函数有平方关系？哪些三角函数与其他三角函数有商数关系？ [答案] 平方关系： . 商数关系： ， . 10 问题3： 同角三角函数的两个关系式，在什么情况下成立？ [答案] 对于平方关系只需是同角即可；对于商数关系第一保证是同角，第二保证 ， . 11 新知生成 1.同角三角函数的关系 （1）平方关系： . （2）商数关系： ， . 这就是说，同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 ， 的正切. 12 2.同角三角函数关系的变形 ， ， ， ， ， . 特别提醒：（1）注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，即与角的表达形式无关，如 成立，但是 就不一定成立. 13 （2） 是 的简写，读作“ 的平方”，不能将 写成 ，前 者是 的正弦的平方，后者是 的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能 正确书写. （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， 对一切 恒成立，而 仅对 成立. 14 新知运用 一、直接利用同角三角函数关系求值 例1 （1）已知 ， ， ，求 的值. （2）已知 ，求 ， 的值. 方法指导（1）根据 和 列方程组求 .（2）先由已知条件判断角 是第几象限角，再分类讨论求 ， . 15 [解析] （1）由已知得 由①得 ，代入②得 ， 所以 ，又 ， ，所以 ， 所以 . （2）因为 ，所以 是第二或第三象限的角. 16 如果 是第二象限角，那么 ， . 如果 是第三象限角，那么同理可得 ， . &1& 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法 （1）已知角 的某一种三角函数值，求角 的其余三角函数值，要注意公式的 合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系. （2）若角 所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若 角 所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果. 提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求 值的符号. 18 二、灵活应用同角三角函数关系式求值 例2 （1）已知 ， ，则 _____. （2）已知 ，计算下列各式的值. ① ； ② . <m></m> 方法指导 （1）法一：&2& &3& . 法二：