5.2.1 任意角三角函数的定义课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第5章 三角函数 5.2 任意角的三角函数 1 5.2.1 任意角三角函数的定义 2 1.理解任意角的三角函数的定义、定义域.（数学抽象） 2.理解用有向线段表示三角函数.（数学抽象） 3.掌握三角函数在各象限的符号.（逻辑推理） 学习目标 3 1.任意角的三角函数的定义是什么？ [答案] 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称三角函数. 2.如何判断三角函数值在各象限内的符号？ [答案] 一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.教材中是在什么背景下定义三角函数线的？ [答案] 单位圆. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）在 ， ， 中，角 可以取任意实数.( ) × （2）三角函数值的大小与点 在终边上的位置无关.( ) √ （3）已知 是三角形的内角，则必有 ， .( ) × （4）若 ，则角 为第一象限角.( ) × 5 2.已知 ， ，则角 所在的象限是( ). B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 由 ， 可知角 所在的象限是第二象限. 3.角 终边与单位圆相交于点 ， ，则 的值为_ ____. <m></m> [解析] ， ，故 . 6 探究1 三角函数的概念 将 放在如图所示的平面直角坐标系中，探究锐角 与三角形边的关系，使锐角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点 ，作 轴于点 ，设 ， . 问题1： 你能说出角 的正弦、余弦、正切分别等于什么吗? [答案] ， ， . 合作探究 7 问题2： 对确定的锐角 ， ， ， 的值是否会随着点 在终边上的 位置改变而改变？ [答案] 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点 在终边上的位置无关，只与 角 的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 问题3： 当 时， ， ， 的值怎样表示？ [答案] ， ， . 8 新知生成 三角函数的定义 （1）正弦、余弦、正切 如图，设 是一个任意角，在角 的终边上任取不同于原点 的一点 . 定义： ， ， ，其中 ，这三个比值分别 称为角 的正弦、余弦、正切. 9 （2）三角函数的定义 依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分别有唯一确定的比值 和 与之对 应，当 时，它有唯一的正切值与之对应，因此这三个对应法则都是 以 为自变量的函数， ， ， 分别叫作角 的正弦 函数、余弦函数和正切函数.以上三种函数都称为三角函数. 10 三角函数 定义域 ， 特别提醒：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确 是一个任意角. （3）三角函数的定义域 （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点 所在终边上 的位置无关，而由角 的终边位置决定. （3）要明确 是一个整体，不是 与 的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如 表示自变量为 的函数一样，离开自变量的“ ”“ ”“ ”等是没有意义的. 12 新知运用 一、利用角 的终边上任意一点的坐标求三角函数值 例1 已知角 的终边过点 ，求 的值. 方法指导 利用三角函数的定义求解. 13 [解析] 若 ，则 ，角 在第二象限， ， ， 所以 ； 若 ，则 ，角 在第四象限， ， ； 所以 . 14 1.已知角 终边上异于原点的任意一点 的坐标 ，求三角函数值的 方法：先求 到原点的距离 ，则 ， .当已知 的终边上一点求 的三角函数值时，用该方法更方便. 2.当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 15 设 是第三象限角， 为其终边上的一点，且 ，则 ( ). D A. B. C. D. [解析] 因为 ， 所以 ，解得 ， 又 是第三象限角，所以 ， 所以 ，故选D. 16 二、求特殊角的三角函数值 例2 利用定义分别求 的正弦值、余弦值和正切值. 方法指导 利用单位圆求解. [解析] 如图所示， 的终边与单位圆的交点为 ，过点 作 轴于点 ，在 中， ， ，则 ， ， 17 则 ， ，所以 ， ， . 18 &2&