5.2.1 任意角三角函数的定义-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（湘教版）

该高中数学课件围绕任意角三角函数的定义、三角函数线、象限符号及特殊角值展开，通过从终边上点的坐标定义到单位圆三角函数线的过渡，构建代数与几何结合的学习支架，帮助学生衔接函数概念与图形表征。 其亮点在于通过知识辨析（如三角函数值与点位置无关）和分类讨论典例（如终边在直线上求函数值），培养学生的数学思维与几何直观。利用三角函数线比较大小，引导学生用数学语言表达数量关系，既助学生深化概念理解，又为教师提供系统教学资源。

5.2　任意角的三角函数 5.2.1　任意角三角函数的定义 知识点 1 用比值定义三角函数 必备知识 清单破 1.如图,设α是一个任意角,在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P,利用点P的坐标(x,y)定 义:sin α= ,cos α= ,tan α= ,其中r= .以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正 切.   2.y=sin α,y=cos α,y=tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数都称 为三角函数.其中正弦函数、余弦函数的定义域为R,正切函数的定义域为 α α≠ +kπ,k∈Z . 第1讲　描述运动的基本概念 　　如图,角α的终边与单位圆交于点P,单位圆与x轴的正半轴交于点A,DP,AT均垂直于x轴, 我们把有向线段DP,OD,AT分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线,记作sin α=DP,cos α= OD,tan α=AT.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.   知识点 2 用有向线段表示三角函数 第1讲　描述运动的基本概念 　　角α的正弦值、余弦值、正切值在不同象限的符号情况如图. 记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 知识点 3 三角函数值在各象限的符号 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 4 特殊角的三角函数值 α 0               π   sin α 0       1       0 -1 cos α 1       0 -  -  -  -1 0 tan α 0   1   — -  -1 -  0 — 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.角α的三角函数值的大小与角α的终边上的点P(x,y)所在的位置有关吗? 2.若sin α>0,则α一定是第一或第二象限角吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.无关.只要角α的终边位置确定了,其三角函数值的大小就确定了,与角α的终边上的点P所在 的位置无关. 2.不一定.当角α的终边落在y轴的非负半轴上时,也有sin α>0. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 利用三角函数的定义求三角函数值 关键能力 定点破 　　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况(单位圆的圆心为原点O): (1)若已知角α的大小,则只需确定出角α的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值. (2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上一点,则sin α=y,cos α=x,tan α= . (3)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)不是单位圆上一点,则先求r= ,再求sin α= ,cos α= ,tan α= .当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进 行分类讨论. (4)若角的终边在一条经过原点的直线上时,则选择适当的参数表示直线上的点,参数取不同 的符号确定两条射线,再利用三角函数的定义求解. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)求α=- 的正弦、余弦和正切值; (2)已知角θ的顶点在坐标原点O,始边与x轴非负半轴重合,终边上有一点P(x,3)(x≠0),且cos θ=  x,求sin θ,tan θ的值; (3)已知O为坐标原点,角α的终边落在直线y=-2x上,求2sin α+3cos α的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)如图,在平面直角坐标系xOy中作α=- ,则角α的终边与单位圆的交点坐标为  ,   所以sin =- ,cos =- , tan = . (2)由题意知r=OP= (x≠0), 第1讲　描述运动的基本概念 由三角函数的定义得cos θ= = . 因为cos θ= x, 所以 = x, 解得x=0或x=±1, 又因为x≠0, 所以x=±1. 当x=1时,P(1,3),此时sin θ= = ,tan θ= =3. 当x=-1时,P(-1,3),此时sin θ= = ,tan θ= =-3. (3)设M(x,-2x)(x≠0)是直线y=-2x上一点, 第1讲　描述运动的基本概念 则r=OM= = |x|, 当x>0时,r= x, 因此sin α= =- ,cos α= = , ∴2sin α+3cos α=- + =- . 当x<0时,r=- x, 因此sin α= = ,cos α= =- , ∴2sin α+3cos α= - = . 综上,2sin α+3cos α=± . 第1讲　描述运动的基本概念 　　用三角函数线定义三角函数时,有向线段的方向表示取值的正负,当指向坐标轴的正方 向时,取正实数值,当指向坐标轴的负方向时,取负实数值.有向线段的长短代表三角函数值的 绝对值. 定点 2 利用三角函数线比较大小 第1讲　描述运动的基本概念 典例　利用三角函数线比较下列各组三角函数的大小: (1)sin 与sin ; (2)tan 与tan ; (3)cos 与cos . 思路点拨    分别作出每组中各角的三角函数线,观察图形中各三角函数线的方向和长短即 可. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    如图,画出角 与 的正弦线、余弦线、正切线,   观察图形可得D1P1>D2P2,AT1>AT2,OD1<OD2, 结合有向线段的方向,可得D1P1>D2P2,AT1<AT2,OD1>OD2,且sin =D1P1,sin =D2P2,tan = AT1,tan =AT2,cos =OD1,cos =OD2. 所以(1)sin >sin . (2)tan <tan . (3)cos >cos . 第1讲　描述运动的基本概念 $