5.1.2 弧度制 课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第5章 三角函数 5.1 任意角与弧度制 1 5.1.2 弧度制 2 1.体会引入弧度制的必要性.（数学抽象） 2.理解1弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化.（数学抽象、数学运算） 3.理解弧度制下弧长与面积的公式.（数学运算） 学习目标 3 1.1弧度的角是如何定义的？ [答案] 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角. 2.如何进行弧度与角度的换算？ [答案] 一般根据 换算. 自主预习 4 3.以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？ [答案] 设扇形所在圆的半径为 ，扇形弧长为 ， 为其圆心角，则 （1）弧长公式： . （2）扇形面积公式： . 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. ( ) √ （2）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关. ( ) × （3） 的角是周角的 ， 的角是周角的 . ( ) √ （4） 的角比 的角要大. ( ) √ 2. 对应的角度为( ). C A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以 .故选C. 6 3.与角 终边相同的角是( ). C A. B. C. D. [解析] 与角 终边相同的角为 ， ，当 时，此角等于 .故选C. 4.已知扇形的半径 ，圆心角 ，则该扇形的弧长等于____，面积等于_____， 周长等于_ _______. <m></m> <m></m> <m></m> [解析] 弧长 ，面积 ，周长为 . 7 探究1 弧度制 单位制这个概念我们并不陌生，比如说测量长度的单位制，古代常以人体的一部分作为长度单位.如记载说：“十尺为丈，人长八尺，故曰丈夫.”可见，古时量物，寸与指、尺与手、寻与身有一一对应的关系.而现在国际上通用的是国际单位制中的“米制”，应用起来要方便得多.在初中几何里，角度制就是度量角的一种单位制. 合作探究 8 问题1： 在初中几何里，我们学习过角的度量， 的角是怎样定义的呢？ [答案] 的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份圆心角就是 .它是一个 定值，与所取圆的半径大小无关. 问题2： 射线 绕端点 旋转到 形成角 ，在旋转过程中，射线 上的一点 （不同于点 ）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆 心角 .设 ， ，点 所形成的圆弧 的长为 ，求弧 长 与半径 的比值. [答案] 因为 ，所以 . 9 问题3： 上述问题2中，射线 上的一点 （不同于点 ）， ，在旋转过程中，点 所形成的圆弧 的长为 ，求弧长 与半径 的比值，其与问题2中的比值有何关系? [答案] 因为 ，所以 ， 故 . 10 新知生成 1.角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制. 2.弧度制 （1）弧度 规定：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角，“弧度”用符号 表示. 11 （2）弧度制 如图，在单位圆 中， 的长等于1，则 就是1弧度的角.这种以“弧度”为单位 来度量角的单位制叫作弧度制. （3）任意角的弧度数与实数的对应关系 一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 12 （4）弧度数公式 如果半径为 的圆的圆心角 所对的弧长为 ，那么角 的弧度数的绝对值是 . 其中， 的正负由角 的终边的旋转方向决定. 13 新知运用 例1 若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ). D A. B. C.3 D. 方法指导 如图，先求 ，再求 ，最后求圆心角的弧度数 . [解析] 如图，等边 是半径为 的圆 的内接三角形，则线段 所对的圆心角 ，作 ，垂足为 . 14 在 中， ， ， ， ， ， 则所求圆心角的弧度数 . 15 &1& 利用弧度数公式求圆心角的弧度数，关键是求出圆的半径和圆心角所对的弧长. 一个半径是 的扇形，其周长为 ，则该扇形圆心角的弧度数为( ). A A.1 B.3 C. D. [解析] 设扇形的弧长为 ，则 ，得 ，则扇形圆心角的弧度数为 . 16 探究2 角度与弧度的互化与应用 问题1： 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，它们之间的数量相同吗？ [答案] 相同，都是0. 问题2： 圆的周角是 ，弧度是 ，两者是否相等？ [答案] 相等，因为圆的周长