第4.4讲 等腰三角形与直角三角形-【聚焦中考】备战2024年中考数学专题复习满分攻略讲义(全国通用)(原卷版)

等腰三角形与直角三角形 ★★★知识梳理★★★ 知识点一、等腰三角形 1．定义：有两边 的三角形叫做等腰三角形． 2．等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两腰 的两个底角 ，简称为 ； （2）等腰三角形的 、 、 重合，简称为 ； （3）一般等腰三角形是轴对称图形，它有 条对称轴，对称轴是 ； （4）等腰三角形两腰上的高、中线分别 ，两底角的平分线也 ； （5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的 ； （6）等腰三角形顶角的外角平分线 这个三角形的底边． 3．等腰三角形的判定： （1）定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形 ； （2）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称为 ； （3）顶角的平分线、底边上的中分线、底边上的高的重合的三角形是等腰三角形. 温馨提醒： （1）在处理等腰三角形的周长、角度问题时，需注意三角形三边关系及分类讨论. （2）逆向运用等腰三角形“三线合一”的性质也可以判定三角形是等腰三角形（需说明） ①一边上的高线与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形； ②一边上的高线与这边所对的角平分线重合的三角形是等腰三角形； ③一边上的中线与这边所对的角平分线重合的三角形是等腰三角形. 知识点二、等边三角形 1．定义： 的三角形是等边三角形，也叫正三角形. 2．等边三角形的性质： （1）等边三角形的每个内角都 ，都等于 ； （2）等边三角形是 图形，它有 条对称轴． （3）等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质. 3．等边三角形的判定： （1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）判定定理：有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形. 知识点三、直角三角形 1．定义：有一个角等于 的三角形叫做直角三角形. 2．直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 ； （2）直角三角形斜边上的中线等于 ； （3）在直角三角形中，30°角所对直角边等于 ； （4）勾股定理：如果直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，那么 ． 3．直角三角形的判定： （1）定义法：有一个角等于 的三角形叫做直角三角形； （2）判定定理：如果一个三角形的两个角 ，那么这个三角形是直角三角形； （3）勾股定理逆定理：如果三角形的三边a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形； （4）如果一个三角形一边上的中线等于这边的 ，那么这个三角形是直角三角形.（需证明） 温馨提醒： （1）直角三角形的性质在四边形、相似图形、圆中有广泛应用，要熟练掌握并灵活运用； （2）常见的几组勾股数：3、4、5，6、8、10，5、12、13，8、15、17，7、24、25； （3）与直角三角形三边相连的正多边形（等边三角形、正方形…），圆（半圆）都具有相同的结论：两直角边相连的图形的面积和等于与斜边相连的图形的面积． 知识点四、等腰直角三角形 1．等腰直角三角形的性质： （1）两直角边 ； （2）两锐角相等且都等于 ； （3）斜边中线将三角形分为两个全等的等腰直角三角形； （4）等腰直角三角形是 图形，有 条对称轴，对称轴是 ； （5）等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一个角是直角），也是特殊的直角三角形（两条直角边相等），具有等腰三角形和直角三角形的所有性质. 2．等腰直角三角形的判定： （1）有一个角等于 的等腰三角形是等腰直角三角形； （2）有两条边 的直角三角形是等腰直角三角形； （3）有一个角等于 的直角三角形是等腰直角三角形； （4）有两个角等于 的三角形是等腰直角三角形. ★★★中考典例剖析★★★ 【核心考点】 核心考点1. 等腰（等边）三角形的性质与判定 例1：（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（    ） A． B． C． D． 变式1.（2022·云南·中考真题）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=4