2024年九年级中考数学复习 微专题4：几何图形中的最值

模型一　垂线段最短 理论依据：①两点之间线段最短；②垂线段最短． 1．(2022·柳州)如图，从学校A到书店B有①，②，③，④四条路线，其中最短的路线是(　　) 第1题图 A．① B．② C．③ D．④ 2．(2022·泰安模拟)如图所示，∠AOB＝30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM＝3，ON＝5，点P，Q分别在边OB，OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是(　　) 　 第2题图 A. B. C.－2 D.－2 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB边上的一点(异于A，B两点)，过点P分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为点M，N，连接MN，则MN的最小值是 ． 第3题图 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是 ． 第4题图 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，若在AC，AB上各取一点M，N，使BM＋MN的值最小，则这个最小值为 ． 第5题图 模型二　“将军饮马”问题 问题：已知将军B和他的马A都在河l的同侧，马匹A要到河边喝水，然后再回到将军身边，请你在直线l上找一喝水点P，使得马匹所走路程最短，即PA＋PB值最小(或者描述成使△PAB周长最短)． 解法：①作点A关于直线l的对称点A′， ②连接A′B，交直线l于点P， 则点P就是喝水点，马匹所走的路线是A→P→B. 6．(2022·资阳)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE＋OE的最小值是(　　) 第6题图 A．4 B．2＋2 C．2 D．2 7．(2023·莱山区一模)如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点．设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为(6，9)，则图象最低点E的坐标为(　　) 第7题图 A．(2，3) B．(2，3) C．(4，3) D．(4，3) 8．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为 ． 第8题图 9．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 第9题图 10．如图，∠AOB＝45°，角内有点P，PO＝10，在角的两边上分别有点Q，R(均不同于O点)，则△PQR的周长的最小值为 ． 第10题图 模型三　“胡不归”问题 问题：点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上的一动点，要使kAP＋BP(0<k<1)的值最小． 解题步骤：第一步，作角(过点A作∠NAP，使sin∠NAP＝k)； 第二步，作垂直(构造直角三角形，在Rt△APE中将kAP转化为PE)； 第三步，化折为直(使得kAP＋BP＝PE＋BP，利用“垂线段最短”转化为求BF的长)． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋BD的最小值是(　　) 第11题图 A．2 B．4 C．5 D．10 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点 A(－1，0)，B(0，－)，C(2，0)，其对称轴与x轴交于点D.若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB＋PD的最小值为 ． 第12题图 13．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB＋PD的最小值等于 ． 第13题图 模型四　“阿氏圆”问题 问题：在圆上找一点P，使得PA＋k·PB的值最小． 解决步骤：①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB； ②计算出这两条线段的长度比＝k； ③在OB上取一点C，使得＝k，即构造△POC∽△BOP，则＝k，PC＝k·PB； ④则PA＋k·PB＝PA＋PC≥AC，当A，P，C三点共线时可得最小值． 解法图 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径作⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA＋PB的最小值为 ． 第14题图 15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E，F分别是边AB，AC的中点，点P是以A为圆心、AE为半径的圆弧上的动点，则PB＋PC的最小值为 ． 　 第15题图 16．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC，BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为弧AB上一动点，则PC＋PD的最小值为． 第16