第4章计数原理 章末小结 学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第4章 章末小结 【知识导图】 【题型探究】 两个计数原理的应用 例1　在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型如图所示,图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成),△ABE,△BCF,△CDG,△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色,且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色,已知有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数是(　　). A.48 B.54 C.72 D.108 方法指导　设这五个区分别为①,②,③,④,⑤区,由分步乘法计数原理分步为每一个区进行涂色,当给④区涂色时,分为④区与②区同色和④区与②区不同色这两个情况,讨论即可得出答案. 小结　(1)应用分类加法计数原理,要明确分类的标准,做到不重不漏,每一类中的每一种方法都能独立地“完成这件事情”;(2)应用分步乘法计数原理,应准确理解“分步”的含义,完成这件事,需要分成若干步骤,只有每个步骤都完成了,这件事情才能完成.求解过程渗透了数学运算、直观想象的核心素养. 排列组合应用题 例2　(1)(2022年新高考全国Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有(　　). A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 (2)(2020年新高考全国Ⅱ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有(　　). A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 小结　将具体问题抽象为排列问题或组合问题,是解排列、组合应用题的关键一步.(1)正确分类或分步,恰当选择两个计数原理.(2)有限制条件的排列组合问题应优先考虑“受限元素”或“受限位置”.而排列组合讨论的问题的共同点是“元素不相同”,不同点是排列与顺序有关,组合与顺序无关.本题渗透了数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养. 二项式定理的应用 例3　在二项式+2n的展开式中. (1)若展开式后三项的二项式系数的和等于67,求展开式中二项式系数最大的项; (2)若n为满足8<n<12的整数,且展开式中有常数项,试求n的值和常数项. 方法指导　(1)根据条件求出n的值,然后判断第几项的二项式系数最大,并求之;(2)常数项说明x的指数为0,根据这一特点,利用项数n与第几项r的关系求解出n的值. 小结　二项式定理的问题类型及解答策略:(1)确定二项展开式中的指定项或指定项系数:先写出其通项公式,建立方程,确定项数,然后代入通项公式求解.(2)求二项展开式中各项系数的和与差:赋值代入.(3)确定二项展开式中的系数最大或最小项:利用二项式系数的性质,渗透了数学运算的核心素养. 二项式定理中的“赋值”问题 例4　已知(1+ax)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.若a3=-80,则a1+a2+a3+a4+a5=(　　). A.1 B.0 C.-1 D.-2 小结　赋值法的应用规律与二项式系数有关,包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和,主要方法是赋值法,通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系,确定给字母所赋的值,有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项,此时要专门求出这一项,而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时,往往要赋值两次,再由方程组求出结果. 【拓展延伸】 数学文化与计数原理 　　数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分,是数学史、数学与文化学、社会学的交叉学科.其内涵是一种理性思维方法在实践过程中不断探索形成的数学史、数学精神及其应用. 纵观近几年高考,计数原理部分以数学文化为背景的问题层出不穷,让人耳目一新.同时考生们也受困于背景陌生,使阅读受阻,思路无法打开.下面通过对典型例题的剖析,让同学们增加对数学文化的认识,进而加深对数学文化的理解,提升数学核心素养. 一、以古代文化经典为素材 例1　如图,洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数,则选取的3个数之和为奇数的方法数为(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.30 B.40 C.42 D.44 小结　本题渗透了古代数学文化,在悠久灿烂的中国古代文化中,数学文化是其中一朵绚烂的奇葩.数学不仅是中国古代实用科学的基石,而且含有神秘的文化色彩,有着深厚的文化积淀,它渗透在数学的各个章节,有待我们去挖掘. 二、以数学家为素