3.4 曲线与方程 学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

3.4　曲线与方程 【学习目标】 1.了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系.(数学抽象、直观想象) 2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(数学抽象、直观想象) 3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤,会求曲线的方程.(逻辑推理) 【自主预习】 预学忆思 　　曲线的方程、方程的曲线的定义分别是什么? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)y2=x与y=表示同一条曲线. (　　) (2)过点P(x0,y0)且斜率为k的直线的方程是=k. (　　) (3)已知曲线C的方程是f(x,y)=0,若点P(x0,y0)在曲线C上,则有f(x0,y0)=0. (　　) (4)以A(0,1),B(1,0),C(-1,0)为顶点的△ABC的BC边上中线所在直线的方程是x=0. (　　) 2.已知直线l:x+y-3=0及曲线C:(x-3)2+(y-2)2=2,则点M(2,1)(　　). A.在直线l上,但不在曲线C上 B.在直线l上,也在曲线C上 C.不在直线l上,也不在曲线C上 D.不在直线l上,但在曲线C上 3.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(-1,2)与动点P(x,y)满足·=3,则点P的轨迹方程为　　　　　.  4.已知动点M(x,y)到定点F(3,0)的距离与到定直线l:x=的距离之比是常数,求动点M的轨迹. 【合作探究】 探究1：曲线与方程的概念 情境设置 　　问题:如何用集合法判断曲线与方程的关系? 新知生成 　　一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 此时,这个方程叫作曲线的方程,这条曲线叫作方程的曲线. 新知运用 例1　如果坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上,那么(　　). A.曲线C上的点的坐标都满足方程f(x,y)=0 B.凡坐标不满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标必不满足方程f(x,y)=0 D.不在曲线C上的点的坐标有些满足方程f(x,y)=0,有些不满足方程f(x,y)=0 方法指导　由于题中方程f(x,y)=0与曲线C不是一一对应的,因此曲线C上的点的坐标未必都满足方程f(x,y)=0. 【方法总结】判断方程是否是曲线的方程的两个关键点:一是检验点的坐标是否满足方程;二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上. 巩固训练 　　判断下列命题的真假,并说明原因. (1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=x. (2)已知A,B两点的坐标分别为(-1,0),(1,0),则满足∠ACB=90°的动点C的轨迹方程为x2+y2=1. 探究2：曲线方程的判定与证明 情境设置 　　问题:如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是什么? 新知生成 　　若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P(x0,y0)在曲线C上⇔f(x0,y0)=0;点P(x0,y0)不在曲线C上⇔f(x0,y0)≠0. 新知运用 例2　方程(2x+3y-5)(-1)=0表示的几何图形是什么? 【方法总结】按照曲线方程定义的两个方面证明方程为曲线的轨迹方程,第一步需要按照求曲线方程的一般步骤来解,即设点——写出动点适合的集合——用坐标表示——化简方程;第二步证明以方程的解为坐标的点都在该曲线上. 巩固训练 　　关于方程x(x2+y2-1)=0和x2+(x2+y2-1)2=0,下列说法正确的是(　　). A.都表示一条直线和一个圆 B.都表示两点 C.前者表示一条直线和一个圆,后者表示两点 D.前者表示两点,后者表示一条直线和一个圆 探究3：利用直接法求轨迹 情境设置 　　问题:求曲线的方程和求轨迹一样吗? 新知生成 　　(1)建系:建立适当的坐标系,用有序数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标. (2)写集合:写出符合条件p的点M的集合P={M|p(M)}. (3)列方程:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0. (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式. (5)说明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明.另外,也可以根据情况省略步骤(2),直接列出曲线方程. 新知运用 例3　已知点M(-1,0),N(1,0),且点P满足·,·,·成公差为负数的等差数列,求点P的轨迹方程. 方法指导　结合数量积的运算将·,·,·用点P的坐标(x,y)表示出来,然后再整理化简即可,但要注意