3.3.1 抛物线的标准方程 学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

3.3.1　抛物线的标准方程 【学习目标】 1.了解抛物线的定义及焦点、准线的概念.(数学抽象) 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.(直观想象、数学建模) 【自主预习】 预学忆思 1.观察教材第133页图3.3-1,将一直尺固定在画图板内直线l的位置上,取一个直角三角板,以它的一条直角边靠紧直尺的一边l.在另一条直角边上取定点A,设三角板的直角顶点为C,再取一条长度正好等于AC的细线.现将这条细线的一端固定在三角板的顶点A处,另一端用大头针固定在点F处,用一支铅笔扣着细线,紧靠着三角板的这条直角边把细线绷紧,然后使三角板紧靠着直尺上下滑动,这样铅笔尖所在的点P就描出了一条曲线. (1)点P的轨迹是什么形状? (2)|PC|与|PF|之间有什么关系? (3)抛物线上任意一点P到点F和直线l的距离都相等吗? 2.观察教材第134页图3.3-2,直线l的方程为x=-(p>0),定点F的坐标为,0,设P(x,y),根据抛物线的定义可知|PF|=|PC|,则点P的轨迹方程是什么? 3.抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么? 4.抛物线方程有几种形式? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数. (　　) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p. (　　) (3)抛物线y=4x2的焦点坐标为(1,0). (　　) (4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2=4y. (　　) 2.抛物线y2=-8x的焦点坐标是(　　). A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0) 3.若抛物线y2=16x上一点P的横坐标为4,则点P到抛物线焦点F的距离|PF|=(　　). A.12 B.10 C.8 D.6 4.已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上的点M(m,-2)到焦点的距离为4,则m=　　　　.  【合作探究】 探究1：抛物线的定义 情境设置 　　问题1:在抛物线的定义中,若去掉条件“l不经过点F”,点的轨迹还是抛物线吗? 问题2:到定点A(3,0)和定直线l:x=-3距离相等的点的轨迹是什么? 新知生成 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线. 新知运用 例1　如图,在同一平面内,A,B为两个不同的定点,圆A和圆B的半径都为r,射线AB交圆A于点P,过点P作圆A的切线l,当rr≥|AB|变化时,l与圆B的公共点的轨迹是(　　). A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 巩固训练 若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为(　　). A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 探究2：抛物线的标准方程 情境设置 　　问题1:比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程,小明给出下列三种建立坐标系求抛物线方程的方法,你认为哪一种坐标系求出的方程最简单? 问题2:你能根据图(3),推导出抛物线的标准方程吗? 问题3:抛物线的标准方程有什么特点? 问题4:若抛物线的焦点坐标为(2,0),则它的标准方程是什么? 新知生成 抛物线的标准方程 图象 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) F,0 x=- y2=-2px(p>0) F-,0 x= x2=2py(p>0) F0, y=- x2=-2py(p>0) F0,- y= 　　特别提醒:(1)p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)标准方程对应的图象的结构特征:顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上. (3)抛物线的开口方向:抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围. 新知运用 例2　根据下列条件,分别求出抛物线的标准方程. (1)焦点在y轴上,且焦点到准线的距离为5; (2)经过点(-3,-1); (3)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点. 方法指导　(1)先确定方程的形式→求出p→写方程; (2)写出抛物线的方程→代入点的坐标求参数→写方程; (3)写出焦点坐标→分情况讨论焦点位置→写方程. 【方法总结】求抛物线标准方程的两种方法:(1)当焦点位置确定时,可利用待定系数法,设出抛物线的标准方程,由已知条件建立关于参数p的方程,求出p的值,进而写出抛物线的标准方程;(2)当焦点位置不确定时,可设抛物线的方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),利用已知条件求出m或n的值,进而写出抛物线的标准方程. 巩固训练 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程. (1)过点(-1,2); (2)焦点在直线x-