3.2.2 课时2 双曲线简单几何性质的应用 学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

3.2.2 课时2 双曲线简单几何性质的应用 【学习目标】 1.进一步掌握双曲线的方程及其几何性质的应用,会判断直线与双曲线的位置关系.(逻辑推理) 2.能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.前面我们学习了双曲线的方程、简单几何性质,你能写出双曲线的标准方程及性质吗? 2.若直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点,则直线与圆(椭圆)相切.那么直线与双曲线相切能用这个方法判断吗? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)若直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线相切. ( ) (2)若直线与双曲线的一条渐近线平行,则该直线与双曲线有两个交点. ( ) 2.(多选题)若直线x=a与双曲线-y2=1有两个交点,则a的值可以是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知双曲线C:x2-4y2=1,经过点P(2,0)的直线l与C有唯一公共点,则直线l的方程为( ). A.y=2x-1 B.y=-x+1 C.y=x-1或y=-x+1 D.y=2x-1或y=-x+1 4.已知直线y=kx+1(k∈R)与双曲线3x2-y2=1,则当k为何值时,直线与双曲线有一个公共点? 【合作探究】 探究1:直线与双曲线的位置关系 情境设置 问题1:若直线和双曲线只有一个公共点,则直线和双曲线一定相切吗? 问题2:过点(0,2)且和双曲线-=1只有一个公共点的直线有几条? 问题3:判断直线与双曲线的位置关系要注意什么? 新知生成 直线与双曲线的位置关系 直线:Ax+By+C=0,双曲线:-=1(a>0,b>0),两方程联立消去y,得mx2+nx+q=0. 位置关系 公共点 判定方法 相交 1个或2个 m=0或 相切 1个 m≠0且 =0 相离 0个 m≠0且 <0 新知运用 例1 已知直线y=kx与双曲线4x2-y2=16.当k为何值时,直线与双曲线满足下列关系: (1)有两个公共点?(2)有一个公共点?(3)没有公共点? 方法指导 要研究直线与双曲线的交点个数,通常需联立直线与双曲线方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程或一元一次方程,再对方程解的个数进行讨论. 【方法总结】讨论直线与双曲线的位置关系时,一般联立直线与双曲线的方程,将其化为关于x(或y)的一元二次方程,这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时,就转化成关于x(或y)的一元一次方程;当二次项的系数不为0时,利用根的判别式,判断直线与双曲线的位置关系. 巩固训练 若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的左支交于不同的两点,则k的取值范围为 . 探究2:与双曲线有关的弦长及中点弦问题 情境设置 问题1:类比求椭圆弦长的方法,若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则如何求|AB|? 问题2:椭圆中点弦问题常用什么方法解决?双曲线中点弦问题能用这种方法吗? 新知生成 解决与双曲线有关的中点弦问题的方法 第一种方法:联立消元法,即联立直线和双曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解. 第二种方法:点差法,根据双曲线弦中点的性质,求出直线的斜率,再用点斜式得出直线方程. 特别提醒:中点弦问题中判断点的位置非常重要. (1)若中点M在双曲线内(含焦点区域),则被点M平分的弦一般存在. (2)若中点M在双曲线外,则被点M平分的弦可能不存在.检验所求的直线和双曲线是否相交. 新知运用 例2 已知双曲线C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率e=,且双曲线C过点P(2,1). (1)求双曲线C的方程; (2)若直线l:y=kx-1与双曲线C交于A,B两点,线段AB的中点的横坐标为-2,求线段AB的长. 【方法总结】中点弦问题:可以联立方程组消元后,用判别式和中点坐标公式求解;也可以用点差法和中点坐标公式求解.注意都需要检验. 巩固训练 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),离心率e=,虚轴长为2. (1)求双曲线C的标准方程; (2)经过点P(1,1)的直线l与双曲线C相交于A,B两点,且P为AB的中点,求直线l的方程. 探究3:双曲线性质的综合应用 情境设置 问题1:双曲线与椭圆有哪些不同点? 问题2:双曲线常与哪些知识结合命题? 新知生成 与双曲线有关的综合问题 (1)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量间的关系转化为点的坐标问题,再根据根与系数的关系,将所求问题与条件建立联系求解. (2)当与直线知识结合时,常常联立直线与双曲线的方程,消元后当二次项的系数不为0时,常常利用一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解;当二次项系数为0时,