2.5.2 圆的一般方程学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.5.2　圆的一般方程 【学习目标】 1.正确理解圆的方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.(逻辑推理) 2.会在不同条件下求圆的一般方程.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形?x2+y2-2x+4y+6=0表示什么图形? 2.把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程?这个方程是不是表示圆? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)方程x2+y2+x+1=0表示圆. (　　) (2)方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圆. (　　) (3)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. (　　) (4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程. (　　) 2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是(　　). A.(2,3)　　　　　　　B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 3.过O(0,0),A(3,0),B(0,4)三点的圆的一般方程为　　　　　　　　　　　.  4.若圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3,则m的值为　　　　.  　　 【合作探究】 探究1：圆的一般方程 情境设置 　　已知圆心为(2,3),半径为2,其标准方程为(x-2)2+(y-3)2=4. 　　问题1:上述方程能否化为二元二次方程的形式? 问题2:方程x2+y2-4x-6y+13=0是否表示圆? 问题3:怎样理解圆的一般方程? 新知生成 1.圆的一般方程的概念: 当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圆的一般方程. 2.圆的一般方程对应的圆心和半径: 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心坐标为-,-,半径长为. 3.当D2+E2-4F=0时,x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点-,-. 4.当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形. 温馨提醒:圆的标准方程和一般方程有如下关系 (1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显. (2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显. (3) 新知运用 例1　(1)若x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是(　　). A.R　　　　　　　　　B.(-∞,1) C.(-∞,1] D.[1,+∞) (2)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是　　　　,半径是　　　　.  【方法总结】对于形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判断其是否表示圆时可用如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义令D2+E2-4F>0,成立则表示圆,否则不表示圆;(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时,要注意所给的方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解. 巩固训练 　　判断下列二元二次方程是否表示圆的方程.如果是,请求出圆的圆心及半径. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0; (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0. 探究2：待定系数法的应用 情境设置 　　问题1:什么是待定系数法? 问题2:圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0含有几个参数?已知三点求圆的方程,用什么方法? 新知生成 　　求圆的方程常用待定系数法,其大致步骤如下: (1)根据题意选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; (3)解出a,b,r或D,E,F的值,得到圆的标准方程或一般方程. 新知运用 例2　已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程. 方法指导　分析已知条件,可以用待定系数法,建立方程组求解;也可以根据圆的几何性质,求出圆心和半径,然后写出方程. 【方法总结】　待定系数法求圆的方程的解题策略:(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程,那么一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r的值;(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,那么一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出D,E,F的值. 巩固训练 　　已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆的标准方程. 【随堂检测】 1.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.一个点