2.5.2 圆的一般方程(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

2.5.2　 圆的一般方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.理解圆的一般方程及其特点,能进行圆的一般方程与标准方程的互化. 2.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单轨迹问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(_______________)叫作圆的一般方程.圆心为_____________,半径为____________________. D2+E2-4F>0   2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 条件 图形 D2+E2-4F>0 表示以__________为圆心, _______________为半径的圆 D2+E2-4F=0 表示一个点 D2+E2-4F<0 不表示任何图形 |微|点|助|解| (1)圆的一般方程形式上的特点 ①x2,y2的系数均为1; ②没有xy项; ③D2+E2-4F>0. (2)在圆的一般方程中,系数D,E,F没有明显的几何意义,但配方后却有着明确的几何意义,表示圆心, 表示半径. (3)二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. ( 　) (2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程. ( 　) (3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0. ( 　) (4)方程x2+y2+x+1=0表示圆. ( 　) √ × √ × 2.圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心坐标和半径分别是 (　　) A.(-1,2),3 B.(1,-2),3 C.(-1,2),1 D.(1,-2),1 √ 解析:将圆x2+y2+2x-4y-4=0化为标准方程得(x+1)2+(y-2)2=9,所以圆心坐标为(-1,2),半径为3. 3.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆,则m的取值范围是 (　　) A.(-∞,-2) B.(-2,2) C.[-2,2] D.(-∞,-2)∪(2,+∞) √ 解析:法一:配方法　将x2+y2+mx-2y+3=0化为圆的标准方程为+(y-1)2=-2.由该方程表示圆可得-2>0, 解得m<-2或m>2. 法二:判别式法　由圆的一般方程表示圆的条件得m2+(-2)2-4×3>0,即m2-8>0,解得m<-2或m>2. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　圆的一般方程的概念 [例1]　已知方程x2+y2+(t+1)x+ty+t2-2=0表示一个圆. (1)求t的取值范围; (2)若圆的直径为6,求t的值. 解:由圆的直径为6,可得r= = =3,解得t=. 解:由题意,方程x2+y2+(t+1)x+ty+t2-2=0表示圆,则满足D2+E2-4F =(t+1)2+t2-4(t2-2)=2t+9>0,解得t>-, 即t的取值范围为. 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法 (1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆. (2)运用圆的一般方程的判断方法求解,即通过判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆. [提醒]　在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时,务必注意x2及y2的系数. |思|维|建|模| 针对训练 1.若方程x2+y2+2kx-4y+k2+k-2=0表示的曲线是圆,则实数k的取值范围是 (　　) A.(-6,+∞) B.[-6,+∞) C.(-∞,6] D.(-∞,6) √ 解析:由方程x2+y2+2kx-4y+k2+k-2=0可得(x+k)2+(y-2)2=6-k,所以当r=>0时表示圆,解得k<6. 2.方程x2+y2+ax+(2b-1)y-1-b2=0表示圆心在y轴上的圆,当半径最小时,方程为(　　) A.x2+=1 B.x2+(y-1)2=2 C.x2+= D.x2+= √ 解析:由题意得a=0,则x2+y2+(2b-1)y-1-b2=0,x2+ =1+b2+,则r2=1+b2+=b2-b+,对称轴为b=, 代入得最小值为,此时圆的方程为x2+=. 题型(二)　求圆的一般方程 [例2]　已知圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4, 求圆的方程. 解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0①, 将P,Q坐标代入①得 令x=0,由①得y2+Ey+F=0④,据题设知|y1-y2|=4,其中y1,y2是④的两根. 所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48⑤,解由②③⑤组成的方程组得 D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=4.故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0. 　　[变式拓展] 若本例条件变为圆过A(4,2),Q(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2,求此圆的方程. 解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=-D. 令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E. 由题意知-D-E=2,即D+E+2=0①. 又因为圆过点A,Q, 所以16+4+4D+2E+F=0②. 1+9-D+3E+F=0③. 解①②③组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12. 故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0. 待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). (2)根据已知条件,建立关于D,E,F的方程组. (3)解此方程组,求出D,E,F的值. (4)将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程. |思|维|建|模| 针对训练 3.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为 (　　) A.x2+y2-6x-6y-16=0 B.x2+y2-2x+2y-8=0 C.x2+y2-6x-6y+8=0 D.x2+y2-2x+2y-56=0 √ 解析:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心坐标为,因为圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上, 所以解得所以圆C的 方程为x2+y2-6x-6y+8=0. 4.已知A(0,0),B(2,0),C(2,-2),P(m,-1)四点共圆,则实数m的值为 ( 　) A.±1 B.+1 C.-1 D.1± 解析:设过四点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将A(0,0), B(2,0),C(2,-2)代入可得解得 所以圆的方程为x2+y2-2x+2y=0,将P(m,-1)代入圆的方程得m2-2m-1=0, 解得m=1±,故选D. √ [例3]　点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点, P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点M的轨迹方程; 题型(三)　与圆有关的轨迹问题 解:设线段AP的中点M(x,y), 由中点坐标公式,得点P的坐标为(2x-2,2y). ∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4, 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程. 解:设线段PQ的中点N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|. 设O为坐标原点,连接ON(图略),则ON⊥PQ, ∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, ∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 　　[变式拓展] 若本例条件不变,求过点B的弦的中点T的轨迹方程. 解:设T(x,y). 因为点T是弦的中点,所以OT⊥BT. 当斜率存在时,有kOT·kBT=-1. 即·=-1,整理得x2+y2-x-y=0. 当x=0或x=1时,点(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)也都在圆上. 故所求轨迹方程为x2+y2-x-y=0. 求与轨迹问题有关的圆的方程 |思|维|建|模| 直接法 直接根据题目提供的条件列出方程 定义法 根据圆、直线等定义列方程 代入法 找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式 5.两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程. 针对训练 解:以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,设A(-3,0),B(3,0),M(x,y),则|MA|2+|MB|2=26,即(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,化简得点M的轨迹方程为x2+y2=4. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程,则实数m的取值范围是 (　　) A. B. C. D. √ 解析:根据题意,得(-1)2+12-4×(-2m)>0,所以m>-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),则D,E分别为 (　　) A.4,-6 B.-4,-6 C.-4,6 D.4,6 解析:圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为,又已知该圆的圆心坐标为(-2,3),∴-=-2,-=3,∴D=4,E=-6. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 解析:因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆,又方程可化为+(y-a)2=-a2-3a,故圆心坐标为,r2=-a2-3a.又r2>0,即-a2-3a>0,解得-4<a<0,故该圆的圆心在第四象限.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.圆心在射线y=x(x≤0)上,半径为5,且经过坐标原点的圆的方程为(　　) A.x2+y2-8x-6y=0 B.x2+y2-6x-8y=0 C.x2+y2+8x+6y=0 D.x2+y2+6x+8y=0 解析:因为圆心在射线y=x(x≤0)上,故设圆心为(a≤0),又半径为5,且经过坐标原点,所以 =5,解得a=-4或a=4(舍去),即圆的圆心坐标为(-4,-3),则圆的方程为(x+4)2+(y+3)2=25,即x2+y2+8x+6y=0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知圆C上有三个点A(0,),B(2,),C(1,0),则圆C的面积为(　　) A.π　　　　B.π　　　　C.π　　　　D.π √ 解析:由题意,设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, ∴解得D=-2,E=-,F=1, 故圆的一般方程为x2+y2-2x-y+1=0⇔(x-1)2+=, 故圆的半径r=,圆的面积S=πr2=π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在平面几何中,将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆,锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若A(-2,0),B(2,0),C(0,4),则△ABC的最小覆盖圆的半径为 (　　) A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.3 √ 解析:∵A(-2,0),B(2,0),C(0,4),∴△ABC为锐角三角形,∴△ABC的 外接圆就是它的最小覆盖圆,设△ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则解得∴△ABC的最小覆盖圆方程为x2+y2-3y-4=0,即x2+=,∴△ABC的最小覆盖圆的半径为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在平面直角坐标系中,圆E与两坐标轴交于A,B,C,D四点,其中A(-2,0), B(0,-3),点C在x轴正半轴上,点D在y轴的正半轴上,圆E的内接四边形ABCD的面积为,则圆E的方程为(　　) A.x2+y2+x+y=2 B.x2+y2-x+y=6 C.x2+y2-4x-y=12 D.x2+y2+x+2y=3 解析:设C(c,0),D(0,d)(c>0,d>0),则S四边形ABCD=(c+2)(d+3)=.又因为|OA|·|OC| =2c=|OB|·|OD|=3d,解得c=3,d=2(舍负),因此圆心E,r2=,圆E的方程为+=,即x2+y2-x+y=6,故B正确. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部,则实数k的取值范围是________. 解析:易知解得-2<k<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知圆C:x2+y2+2x+my+4=0关于直线x+2y-3=0对称,则圆心C的坐标为__________. (-1,2) 解析:由已知得4+m2-16>0,解得m>2或m<-2,圆C:(x+1)2+ =-3,圆心为,若圆C关于直线x+2y-3=0对称,则-1-×2-3=0,解得m=-4,所以圆心C坐标为(-1,2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,则圆C的一般方程为______________________. x2+y2+2x-4y+3=0 解析:因为圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心C在直线x+y-1=0上, 所以---1=0,即D+E=-2, ① 又r= =,所以D2+E2=20,②　联立①②可得或 又圆心在第二象限,所以-<0,D>0, 所以故所求的圆的方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知直线l:ax+by-3=0经过点(a,b-2),则原点到点P(a,b)的距离可以是__________________.(写出你认为正确的一个常数)  2(答案不唯一) 解析:由于直线l:ax+by-3=0经过点(a,b-2),即a2+b(b-2)-3=0,即a2+(b-1)2=4, 故P(a,b)在以(0,1)为圆心,2为半径的圆上,由于02+(0-1)2<4,即原点在该圆内,故|OP|∈[1,3],则原点到点P(a,b)的距离可以是2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆. (1)求实数m的取值范围;(5分) 解:原方程可化为(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4,若方程表示一个圆, 则-m2+3m+4>0,解得-1<m<4,即实数m的取值范围是(-1,4). (2)求圆的周长的最大值.(5分) 解:圆的半径r==≤,当且仅当m=时, 半径r取得最大值,所以圆的周长的最大值为5π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)设△ABC的顶点坐标是A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆. (1)求圆M的方程;(5分) 解:设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆M过点A(0,a),B(-,0), C(,0), ∴解得D=0,E=3-a,F=-3a. ∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.(5分) 解:圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由 解得x=0,y=-3. ∴圆M过定点(0,-3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图,一隧道内设双行线公路,其截面由一个长方形(长、宽分别为8 m、4 m)和圆弧构成,截面总高度为6 m, 为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米,已知行车道总宽度|AB|=6 m. (1)试建立恰当的坐标系,求出圆弧所在圆的一般方程;(6分) 解:以抛物线的顶点O为坐标原点,为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系,故圆心在y轴上,原点在圆上,可设圆的一般方程为x2+y2+Ey=0, 易知,点(4,-2)在圆上,将(4,-2)的坐标代入圆的一般方程得16+4-2E=0,E=10, 则该圆弧所在圆的一般方程为x2+y2+10y=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米?(4分) 解:令x=3代入圆的方程得y2+10y+9=0,解得y=-1或y=-9(舍去),由于隧道的总高度为6米,且6-1-0.5=4.5(米), 因此,车辆通过隧道的限制高度为4.5米. $$