2.2.3 课时1 直线的一般式方程学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.2.3 课时1 直线的一般式方程 【学习目标】 1.掌握直线的一般式方程.(逻辑推理) 2.理解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示直线.(直观想象) 3.会进行直线方程的五种形式之间的相互转化.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.前两节我们学习了直线方程的四种形式,你能写出这四种形式吗? 2.我们学习过四种表示直线的方程,它们有怎样的区别与联系? 3.上述四种方程在表示直线时有怎样的局限性? 4.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗?为什么? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若方程Ax+By+C=0表示直线,则A≠0. (　　) (2)若方程Ax+By+C=0表示直线,则B≠0. (　　) (3)若方程Ax+By+C=0表示直线,则A2+B2≠0. (　　) 　 2.在平面直角坐标系中,直线x+y-3=0的倾斜角是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.30° B.60° C.120° D.150° 3.经过点A(8,-2),斜率为-2的直线方程为(　　). A.x+2y-4=0 B.x-2y-12=0 C.2x+y-14=0 D.x+2y+4=0 4.已知直线l的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-4,则直线l的点斜式方程为　　　　;截距式方程为　　　　;斜截式方程为　　　　;一般式方程为　　　　.  【合作探究】 探究1：一般式方程 情境设置 　　问题1:观察下列直线方程: 直线l1:y-2=3(x-1);直线l2:y=3x+2; 直线l3:=;直线l4:+=1. 上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax+By+C=0的形式吗? 问题2:每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)都能表示一条直线吗?为什么? 问题3:在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线:①平行于x轴?②平行于y轴?③与x轴重合?④与y轴重合? 问题4:二元一次方程与直线的关系是什么? 新知生成 　　直线的一般式方程 定义:关于x,y的二元一次方程都表示一条直线,我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程,简称一般式. 适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示. 系数的几何意义: ①当B≠0时,斜率k=-,在y轴上的截距为-; ②当B=0,A≠0时,斜率不存在,在x轴上的截距为-. 解题时,若无特殊说明,应把求得的直线方程化为一般式. 新知运用 例1　根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式. (1)斜率是-,且经过点A(8,-2); (2)经过点B(4,2),且平行于x轴; (3)在x轴和y轴上的截距分别是,-3; (4)经过点P1(3,-2)和点P2(5,-4). 方法指导　根据条件,选择恰当的直线方程的形式,最后化成一般式方程. 【方法总结】在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用的方法还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程,然后转化为一般式.在利用直线方程的四种特殊形式时,一定要注意其适用的前提条件. 巩固训练 1.在y轴上的截距为-6,且倾斜角为45°的直线的一般式方程为　　　　　　　.  2.已知点A(2,-1),B(6,1),则在y轴上的截距为-3,且经过线段AB中点的直线方程为　　　　　　.  探究2：直线的一般式方程的应用 例2　已知直线l: 5ax-5y-a+3=0. (1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限. (2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围. 解析 　(1)将直线l的方程整理为y-=a, ∵直线l的斜率为a,且过定点A,又点A在第一象限内,∴不论a为何值,l恒过第一象限. (2)直线OA的斜率kOA==3. 如图所示,要使l不经过第二象限,只需斜率a≥kOA=3. ∴a≥3,即a的取值范围是[3,+∞). 【方法总结】　(1)要证直线l总经过某一象限,只需证直线l总经过该象限内的一个定点即可. (2)要证直线l不经过某一象限,可将该直线方程转化为斜截式后,借助于数形结合的方法确定斜率与截距的符号. 巩固训练 　　已知直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围. 【随堂检测】 1.直线+=1的一般式方程为(　　). A.y=-x+4　　　　　B.y=-(x-3) C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12 2.若ax+by+c=0表示的直线