2.2.2 直线的两点式方程 学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.2.2　直线的两点式方程 【学习目标】 1.掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围.(直观想象) 2.了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围.(逻辑推理) 3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2,如何求直线P1P2的方程? 2.式子y-y1=(x-x1)与=等价吗?能表示过任意两点的直线方程吗? 3.若P1(0,b),P2(a,0),且a≠0,b≠0,如何求直线P1P2的方程? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)斜率不存在的直线有两点式方程. (　　) (2)过原点的直线没有截距式方程. (　　) (3)过点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线的两点式方程是=. (　　) 2.过(1,1),(2,-1)两点的直线方程为(　　). A.y=2x-1　　　　　　B.y=x+ C.y=-2x+3　　　　　　 D.y=-x+ 3.直线-=1在两坐标轴上的截距之和为　　　　.  4.已知直线l的两点式方程为=,则直线l的斜率为　　　　.  【合作探究】 探究1：直线的两点式方程 情境设置 　　某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街,某公园位于东大街北侧、北大街东侧P处,如图所示.公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A,B两处,并使该区商业中心O到A,B两处的距离之和最短. 　问题1:在上述问题中,实际上解题的关键是确定直线AB,那么直线AB的方程确定后,点A,B能否确定? 问题2:若给定两点A(x1,y1),B(x2,y2),是否就可以用两点式写出直线AB的方程? 问题3:直线的两点式方程能用=(x1≠x2,y1≠y2)代替吗? 问题4:过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗?为什么?过点(2,3),(5,3)的直线呢? 问题5:方程=和方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)的适用范围相同吗? 新知生成 　　直线的两点式方程 名称 两点式方程 已知条件 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 示意图 直线方程 (y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 适用范围 任意两点 　　若x1≠x2,y1≠y2,则两点式方程也可以写成=. 新知运用 例1　已知△ABC的三个顶点为A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三条边所在直线的方程. 方法指导　点A,B,C的坐标已知,可以根据坐标来选择用点斜式还是两点式求解. 【方法总结】当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,若两点的连线不垂直于坐标轴,则考虑用两点式的分式形式求方程. 巩固训练 1.若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m=　　　　.  2.已知直线经过点A(1,0),B(m,1),求这条直线的方程. 探究2：直线的截距式方程 情境设置 　　问题1:怎样理解直线的截距式方程? 问题2:方程-=1和+=-1都是直线的截距式方程吗? 新知生成 　　直线的截距式方程 名称 截距式方程 已知条件 在x轴,y轴上的截距分别为a,b,且a≠0,b≠0 示意图 直线方程 +=1 适用范围 斜率存在且不为零,不过原点 　　(1)截距式方程等号左边以“+”相连,等号右边是1. (2)a叫作直线在x轴上的截距,a∈R,且a≠0,不一定有a>0. 新知运用 例2　求过点(4,-3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程. 方法指导　讨论截距等于0和不等于0两种情况,然后设方程求解. 【方法总结】　(1)若问题中涉及直线与两坐标轴相交,则可考虑选用直线的截距式方程,用待定系数法确定其系数即可.(2)选用直线的截距式方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直的情况. 巩固训练 　　求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程. 探究3：中点坐标公式的应用 情境设置 　　如图,已知A,B,C三点,且B是AC的中点. 问题1:若已知点A(x1,y1),B(x,y),C(x2,y2),如何根据向量法用点A,C的坐标表示点B的坐标? 问题2:问题1中的x,y的表达式适合求任何两点的中点坐标吗? 新知生成 　　线段的中点坐标公式 若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),设P(x,y)是线段P1P2的中点, 则 新知运用 例3　在△ABC中,点A(1,-