2.2.1 直线的点斜式方程学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.2.1　直线的点斜式方程 【学习目标】 1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程.(逻辑推理、直观想象) 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.(逻辑推理) 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.确定一条直线的几何要素是什么? 2.已知直线上一点P0(x0,y0)与这条直线的斜率k,我们能否将直线上的一点P(x,y)满足的关系表示出来? 3.直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)也可写成k=,对吗? 4.在式子y=kx+b中,k,b的几何意义是什么? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线y-3=m(x+1)恒过定点(-1,3). (　　) (2)直线y=2x+3在y轴上的截距为3. (　　) (3)经过点P(x0,y0)且斜率不存在的直线的方程为x=x0. (　　) 2.已知直线的方程为y+3=-(x-1),则(　　). A.该直线过点(-1,-3),斜率为-1 B.该直线过点(-1,-3),斜率为1 C.该直线过点(1,-3),斜率为-1 D.该直线过点(1,-3),斜率为1 3.已知过点A(,1)的直线l的倾斜角为60°,则直线l的方程为(　　). A.y=-x+4 B.y-1=(x-) C.y=-x-4 D.y-1=(x+) 4.已知直线l的倾斜角为60°,且在y轴上的截距为-2,则此直线的方程为(　　). A.y=x+2 B.y=-x+2 C.y=-x-2 D.y=x-2 【合作探究】 探究1：直线的点斜式方程 情境设置 　　斜拉桥又称斜张桥,桥身简约刚毅,力感十足.若以桥面所在直线为x轴,索塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则斜拉索可看成过索塔上同一点的直线. 问题1:已知某一斜拉索过索塔上一点B,那么该斜拉索位置确定吗? 问题2:若某条斜拉索过点B(0,b),斜率为k,则该斜拉索所在直线上的点P(x,y)满足什么条件?该直线的方程是什么? 问题3:直线的点斜式方程的前提条件是什么? 问题4:当k取任意实数时,方程y-y0=k(x-x0)表示的直线有何特征? 问题5:如果直线l过点P0(x0,y0)且垂直于x轴,此时的直线方程是什么? 新知生成 1.点斜式:方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0,y0)及该直线的斜率k确定,我们把它叫作直线的点斜式方程,简称点斜式. 2.特殊的直线方程 直线l过定点P(x0,y0), 当直线l的倾斜角为90°时,l没有斜率,则l不能用点斜式方程表示,此时l与x轴垂直,方程为x=x0. 新知运用 例1　根据条件写出下列直线的点斜式方程: (1)过点A(-4,3),斜率k=3; (2)过点B(-1,4),倾斜角为135°; (3)过点C(-1,2),且与y轴平行; (4)经过点D(1,1),且与x轴垂直. 【方法总结】　(1)求直线的点斜式方程的步骤 (2)当直线的斜率不存在时,过点P(x0,y0)的直线与x轴垂直,直线上所有点的横坐标相等,都为x0,故直线方程为x=x0. 巩固训练 　　求满足下列条件的直线的点斜式方程: (1)过点P(4,-2),倾斜角为150°; (2)过两点A(1,3),B(2,5). 探究2：直线的斜截式方程 情境设置 　　问题1:方程y=kx+b的特点是什么? 问题2:直线方程的斜截式是由什么推导而来的? 问题3:直线y=kx+b在y轴上的截距是恒为正数吗? 新知生成 　　我们把直线l:y=kx+b与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距.方程y=kx+b由直线的斜率k与在y轴上的截距b确定,因此我们把方程y=kx+b叫作直线的斜截式方程,简称斜截式. 特别提醒:(1)倾斜角是直角的直线没有斜截式方程. (2)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在. 新知运用 例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程: (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2. 【方法总结】　(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示. (2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程,只需知道参数k,b的值即可. 巩固训练 　　求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,且在y轴上的截距是-5的直线方程. 【随堂检测】 1.直线y+2=k(x+1)恒过点(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(2,1) B.(-2,-1) C.(-1,-2) D.(1,2) 2.过点P(0,1)且斜率为2的直线的方程