2.1 直线的斜率学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

2.1　直线的斜率 【学习目标】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象、直观想象) 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.(逻辑推理) 3.了解斜率公式的推导过程,会应用斜率公式求直线的斜率.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图,过一点P可以作无数条直线a,b,c,…,可见,答案是否定的. 1.a,b,c…这些直线有什么联系呢? 它们的倾斜程度相同吗? 2.下图中标的倾斜角α对不对? 3.刻画直线倾斜程度的量,除了倾斜角,还有其他的吗?坡度是斜率吗? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角,都存在斜率. (　　) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1. (　　) (3)若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率k=tan α. (　　) (4)直线斜率的取值范围是(-∞,+∞). (　　) 2.若直线l经过原点和(-1,1),则它的倾斜角是(　　).　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.45° B.135° C.45°或135° D.-45° 3.已知直线l的倾斜角为30°,则直线l的斜率为(　　). A. B. C.1 D. . 4.已知坐标平面内,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1,1),B(1,1),C(1,-1),求直线AB,BC,AC的斜率. 【合作探究】 探究1：直线的倾斜角 情境设置 　　小明在无聊的时候拿起一支笔,哗啦啦地转起来,他的同桌也学了起来,但手指头总是不够协调,水笔在手上还没转足半圈,已经没了惯性,“啪嗒”一声掉在桌子上. 问题1:若把上图中的笔看成一条直线绕着一个点P转动,把点P放在坐标系内,不论怎么旋转,它相对x轴的位置有几种情形? 问题2:直线的倾斜角能不能是0°?能否大于平角? 问题3:在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角吗? 新知生成 　　倾斜角的概念 (1)倾斜角 当直线l与x轴相交时,我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角. (2)倾斜角的范围 当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角α=0. 直线的倾斜角α的取值范围为0≤α<π. 特别提醒:在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角.方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等;方向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不相等. 新知运用 例1　 设直线l过坐标原点O,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点O逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为(　　). 　　A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135° 方法指导　根据题意,画出图形,再根据倾斜角的定义判断. 【方法总结】求直线的倾斜角的方法及注意事项 (1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角. (2)注意事项:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°;②注意直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 巩固训练 　　如图,已知直线l1的倾斜角是150°,l2⊥l1,垂足为B.l1,l2与x轴分别相交于点C,A,l3平分∠BAC,则l3的倾斜角为　　　　.  探究2：直线的斜率 情境设置 　　在平面直角坐标系中,设直线的倾斜角为α. 问题1:已知直线l经过点O(0,0),P(,1),α与点O,P的坐标有什么关系? 问题2:类似地,如果直线l经过点P1(-1,1),P2(,0),α与点P1,P2的坐标又有什么关系? 问题3:直线l的倾斜角α与点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)有什么内在联系? 新知生成 1.斜率的定义 一条直线的倾斜角αα≠的正切值k称为这条直线的　斜率　,即k=tan α.  2.斜率公式 如果直线经过两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),那么该直线的斜率公式为k=. 3.(1)倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率. (2)直线的倾斜角与斜率的关系 ①直线的斜率与倾斜角既有区别,又有联系.它们都反映了直线的倾斜程度,本质上是一致的.但倾斜角是角度,是倾斜度的直接体现;斜率是实数,是直线倾斜度的间接反映.用斜率比用倾斜角更方便. ②倾斜角可正可零不可为负,而斜率k不仅可正,可零,而且可以为负. ③当倾斜角α=90°时,直线的斜率不存在;当α≠90°时,可以建立倾斜角α与斜率k之间的函数关系式,即k=tan α(α≠90°). 新知运用 例2　经过下列两点的