2024年中考数学重难题型研究（山西卷）题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（十三）二次函数中特殊角的存在性问题

2024年中考数学重难题型研究（山西卷） 题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题（十三） 二次函数中特殊角的存在性问题 1、 题型解读 二次函数中特殊角的存在性问题属于开放探究题，考查学生的综合探究、几何直观和运算能力，在求解这类综合题时，结合“分类讨论思想”，“方程思想”，注意利用数形结合的数学思想，从数与形不同的角度构造特殊三角形寻找解题策略。 二、解题策略 1. 【基本概念】 特殊角存在性问题在坐标系中可以由以下几种方式得到： （1） 等腰直角三角形的性质； （2） 平行线的性质； （3） 等边三角形的性质； （4） 等角三角函数相等。 （5） 直角三角形性质。 2.【基本题型】 （1）30°，60°特殊角 （2）90°的特殊角 （3）45°的特殊角 （4）15°的特殊角 3.【解题思路】 （1）运用三角函数值； （2）遇45°构造等腰直角三角形； （3）遇30°，60°构造等边三角形； （4）遇90°构造直角三角形。 （5）遇15°构造两个特殊角的差 类型一、45°的特殊角方法： 遇45°角构造等腰直角三角形 例1-1．综合与探究 如图，抛物线的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，作直线． (1)求抛物线表达式及所在直线的函数表达式； (2)若点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若点M是抛物线上的点，且，请直接写出点M的坐标． 例1-2．如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，连接、．    (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点D是第一象限抛物线上一点，点P是线段上一点，且，连接交于点E，求线段的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，点F为y轴负半轴上一点，且，若点P是线段上一点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标． 针对练习1 1．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求的面积； (2)点为轴上一点，是否存在点，使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点为抛物线上一点（点与点不重合），且使得中有一个角是，请直接写出点的坐标． 2．如图，抛物线与轴交于，B，与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上的一动点，轴，在抛物线上是否存在一点使的周长最大，如果存在，求出周长的最大值． (3)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由． 3．已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，连接 (1)求点，点的坐标； (2)当时，判断以为直径的圆是否经过点，并说明理由； (3)在(2)的条件下，抛物线是否存在一点，使，如果存在，请求出点的坐标． 类型二、30°、60°的特殊角方法： 遇30°，60°构造等边三角形 例2-1．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，若，求点D的坐标； (3)如图2，经过定点P作一次函数与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值?请说明理由. 例2-2．在平面直角坐标系中，抛物线线与轴的交点为、，点在点的左侧，点是该抛物线与轴的交点，点为抛物线的顶点，连接，和，交轴于点． (1)当顶点纵坐标为时，求该抛物线的表达式； (2)当和相似时，求该抛物线的表达式； (3)当时，求该抛物线的表达式． 针对练习2 1．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图①所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，，求的面积的最大值； (3)如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点，直接写出点的坐标． 2．如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． (1)求抛物线的解析式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、90°的特殊角方法： 遇90°构造直角三角形。 例3-1．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点，，．直线：与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左边）．    (1)求抛物线的解析式，并写出顶点坐标； (2)当直线时，若的面积被y轴分成的两个三角形的面积比为时，求n的值； (3)当时，试在抛物线上找一定点P，使得，求P点坐标以及点P到的最大距离． 例3-2．如图，抛物线与坐标轴分别交于三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．    (1)三点的坐标______，______，______； (2)连接，交线段于点． ①当与轴平行时，求的值 ②当与轴不平行时，连接、，求的最大值 ③连接，是否存在点，使得