2024年山西中考数学专题讲解——专题二、几何压轴题（综合与实践问题）——四、操作探究型(不含图形变化)问题

2024年山西中考数学专题讲解——专题二、几何压轴题（综合与实践问题）——四、操作探究型(不含图形变化)问题(2018.22) 一、题型解读 综合与实践属于过程探究题，旨在引导学生动手操作、自主探索、小组合作、交流共享．通过图形的变化考查学生的动手实践、推理论证、几何直观和数学运算能力．主要考查类型有操作探究、平移、旋转、折叠，常与三角形全等、相似及一些重要的几何定理综合考查，让学生在实践过程中，学会发现问题、解决问题，培养严谨的逻辑思维、应用意识和创新意识，提高解决问题的能力． 2、 山西近十年中考知识点分类小结 1.考查次数：10年10考，常在解答题倒数第二题考查 2.考查题型：解答题 3.考查难度：压轴题 4.考查形式： （1）操作探究型（不含图形变化）（8年1考：2018.22）； （2）图形平移型（8年1考：2016.22）； （3）图形旋转型（8年9考：2022.22,2020.22,2016.22）； （4）图形折叠型（8年5考：2021.22,2019.22，2017.22,2015.23，2014.23） 5.历年山西中考数学试卷考查题型小结： 三、专题讲解 （一）典例精讲 例、综合与实践 问题情境：在数学活动课上，老师提出了一个问题：在正方形ABCD中，AB＝4，E是射线BA上的一个动点． 活动探究一：若点E在线段AB上，连接CE，在CE的右上方作正方形CEFG. (1)如图①，连接DG，求证：△BEC≌△DGC； 例题图① (2)如图②，连接AF，求∠FAD的度数； 例题图② (3)如图③，设EF交AD于点P，连接DE、CP交于点Q，请写出CQ、DQ、EQ、PQ之间的数量关系，并证明； 例题图③ 活动探究二：若点E在BA的延长线上，连接CE，在CE的右上方作正方形CEFG. (4)如图④，连接FA，若AE＝AB，求AF的长． 例题图④ (5)如图⑤，连接DE，BG，取BG的中点M，连接CM，试说明CM和DE的位置关系； 例题图⑤ (6)如图⑥，在(5)的条件下，当BE＝5AE时，直接写出CM的长． 例题图⑥ 针对训练 1.（2018山西22题11分）（操作探究型（不含图形变化））综合与实践 问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图①，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系． 探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法： 证明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB.∵AD＝2AB，∴AD＝AE. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC. ∴＝.(依据1) ∵BE＝AB，∴＝1. ∴EM＝DM，即AM是△ADE的DE边上的中线． 又∵AD＝AE，∴AM⊥DE，(依据2) ∴AM垂直平分DE. 反思交流： (1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2 ”分别是指什么？ ②试判断图①中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明； (2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图②，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明； 探究发现： (3)如图③，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明． 2．综合与实践 问题情境： 如图1，M是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），分别以AM和BM为斜边在AB同侧构造等腰直角三角形AMC和等腰直角三角形BMD，连接CD．取AB中点E，CD中点F，连接EF． 猜想验证： （1）如图2，当点M与点E重合时，试判断EF与CD之间的数量关系，并说明理由； 延伸探究： （2）如图3，当点M与点E不重合时，问题（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若AB＝2cm，线段EF是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 3. 综合与实践 问题情境 在数学活动课上，勤奋小组作了如下探究：如图①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形． 反思交流 (1)钻研小组提出，当点F是AE的中点时，S正方形ABCD＝mS正方形EFGH，请你求出m的值； 拓展应用 (2)创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图②，在等边△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF