2024年山西中考数学专题讲解——专题二、几何压轴题（综合与实践问题）——二、图形折叠型问题

2024年山西中考数学专题讲解——专题二、几何压轴题(综合与实践问题)——二、图形折叠型(8年5考:2021.22;2019.22;2017.22;2015.23;2014.23) 一、题型解读 综合与实践属于过程探究题,旨在引导学生动手操作、自主探索、小组合作、交流共享.通过图形的变化考查学生的动手实践、推理论证、几何直观和数学运算能力.主要考查类型有操作探究、平移、旋转、折叠,常与三角形全等、相似及一些重要的几何定理综合考查,让学生在实践过程中,学会发现问题、解决问题,培养严谨的逻辑思维、应用意识和创新意识,提高解决问题的能力. 2、 山西近十年中考知识点分类小结 1.考查次数:10年10考,常在解答题倒数第二题考查 2.考查题型:解答题 3.考查难度:压轴题 4.考查形式: (1)操作探究型(不含图形变化)(8年1考:2018.22); (2)图形平移型(8年1考:2016.22); (3)图形旋转型(8年9考:2022.22,2020.22,2016.22); (4)图形折叠型(8年5考:2021.22,2019.22,2017.22,2015.23,2014.23) 5.历年山西中考数学试卷考查题型小结: 三、专题讲解 (一)热身小练 1. 如图,在矩形纸片ABCD中,E、F分别在边AD、BC上,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,点D落在点D′处,连接EC,请直接写出四边形AFCE的形状,并说明理由. 2. 如图①,将矩形纸片ABCD对折并展开,折痕为EF,连接BE、DF;在图①的基础上,折叠矩形使点A落在BE上的点P处,点C落在DF上的点Q处,折痕分别为EM、FN,如图②;将图②展开,连接MF、EN分别交BP、DQ于点G、H,如图③.在不增加字母的条件下,请你以图③中的字母表示的点为顶点画出一个平行四边形,并证明. 3. 如图,四边形ABCD是一张矩形纸片,点E、F分别在AD、BC边上,连接BE、DF,且BE∥DF,将 BAE、 DCF分别沿BE、DF折叠,点A、C分别落在点A′、C′处.A′E和C′D交于点G,A′B与C′F交于点H,试判断四边形A′GC′H的形状,并说明理由. 4. 如图,将矩形纸片ABCD先沿MN折叠,AB与DC边重合,展开铺平,再沿CE折叠,点B落在边CD上的点F处,CE交MN于点G.再分别沿EM和MF折叠,点A和D重合在MN上的点H处.连接FG,请判断四边形EMFG的形状,并证明. (二)典例精讲 例、综合与实践 问题情境:数学活动课上,老师和同学们一起通过折叠正方形,探究其中的数学奥妙. 活动探究一:如图①,将正方形ABCD对折,使得AB与CD重合,展开铺平,得到折痕PQ,再对折,使得BC与AD重合,展开铺平,得到折痕MN,依次连接P、M、Q、N. (1)①判断四边形PMQN的形状,并证明; 例题图① ②四边形PMQN的面积与正方形ABCD的面积之间存在怎样的数量关系,证明你的结论; 活动探究二:如图②,先将正方形ABCD对折,使得AD与BC重合,展开铺平,得到折痕MN.再将∠D沿过点A的直线折叠,使得点D的对应点D′恰好落在MN上,折痕AE交CD于点E. (2)①∠DAD′=_ ; ②猜想DE与EN的数量关系,并证明你的结论; 例题图② ③若AB=4,连接DD′并延长交BC于点H,求tan∠DAE和CH的长. 活动探究三:如图③,对于活动探究二中的图形,将∠C沿过点B的直线折叠,使得点C的对应点与点D′重合,折痕BF交CD于点F,延长AE,BF交于点G,连接DG,CG. (3)①写出图中的一个菱形,并证明; 例题图③ ②猜想 DCG的形状,并说明理由; ③若AB=2,求四边形D′EGF的面积. (4)如图④,在正方形ABCD内有一点D′,且∠D′DC=∠D′CD,连接AD′、BD′,判断 ABD′的形状,并说明理由; 例题图④ 活动探究四:如图⑤,正方形ABCD对折并展开铺平后,得到折痕MN,分别将∠B和∠D沿CM、AN折叠,点B和点D的对应点G、D′分别落在AN、CM上. (5)判断四边形MGND′的形状,并说明理由; 例题图⑤ 活动探究五:若线段AB上一点C满足=≈0.618,则称点C是线段AB的黄金分割点.如图⑥,正方形ABCD对折并展开铺平后,得到折痕MN,将∠B沿过点A的直线折叠,使得点B的对应点B′落在AN上,折痕交BC于点E. (6)(创新设问)探究小组认为点E是BC的黄金分割点.请你判断探究小组的结论是否正确,并说明理由; 例题图⑥ 活动探究六:若一个直角三角形三边长的比为3∶4∶5,则称这个直角三角形是(345)三角形.如图⑦,正方形ABCD对折并展开铺平后,得到折痕MN,沿AN将∠D折叠,点D的对应点为D′,将∠B沿过点A的直线折叠,使得点B与点D′