2024年山西中考数学专题讲解——专题一、二次函数压轴题——三、运动产生的特殊三角形问题（2、直角三角形问题）

2024年山西中考数学专题讲解——专题一、二次函数压轴题——三、运动产生的特殊三角形问题（2、直角三角形问题） 1、 考查次数： 6年2考：2018、23(2)、2016、23(3) 二、例题讲解： 例1、如图，A(1，1)、B(5，2)为平面直角坐标系中的两点，连接AB，C为x轴正半轴上任意一点． 若△ABC为直角三角形时，回答下列问题． ①当∠ABC＝90°时，请在图①的虚线框中画出△ABC，此时点C的坐标为______； 图① ②当∠BAC＝90°时，请在图②的虚线框中画出△ABC，此时点C的坐标为______； 1. 图② ③当∠ACB＝90°时，请在图③的虚线框中画出△ABC，此时点C的坐标为______． 图③ 例2、如图①，已知抛物线y＝ax2－x＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，－2)，连接AC、BC，对称轴为直线l，顶点为M. (1)求抛物线和直线BC的表达式； (2)若点P是y轴上的点，且∠PAC＝90°，求点P的坐标； 1. 例2图① (3)如图②，若点G是x轴上的点，当△OCG为等腰直角三角形时，求点G的坐标； 1. 例2图② (4)如图③，点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 1. 例2图③ (5)如图④，若点N是对称轴l上一动点，是否存在点N使得△NBC是直角三角形，若存在，请求出点N的纵坐标；若不存在，请说明理由； 例2图④ (6)如图⑤，已知点D(0，4)，动点E是直线BD上一点，过点E作EF⊥BD，交y轴于点F，连接AF，BF，若△ABF是直角三角形，试求点E的坐标； 1. 例2图⑤ 例3、如图，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴交于A(－1，0)，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，对称轴与BC交于点E，与x轴交于点F. (1)求抛物线及直线BC的表达式； (2)如图①，在x轴上是否存在点G，使得△BGE是直角三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由； 例3图① (3)如图②，点L从点C以每秒个单位的速度向点B运动，运动时间为t秒．过点L作y轴的平行线，分别交x轴，抛物线于点M，N，连接CN，CM.是否存在△MNC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 1. 例3图② (4)如图③，设点P是第一象限内抛物线上的动点，点Q是线段BC上一点，是否存在点P、Q，使得△PCQ是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 1. 例3图③ 三、课后练习： 1.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，直线l经过B，C两点． (1)求抛物线和直线l的函数表达式． (2)连接AC，若P是直线l上的一个动点，点P的横坐标为m，当△ACP是直角三角形时，求点P的坐标． (3)若Q是抛物线上异于点B，C的动点，当△CBQ是直角三角形时，求点Q的横坐标． (4)若P是直线l上方抛物线上异于点B，C的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线l于点E，是否存在点P，使△PCE为直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3.如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于A(，)，B(4，m)两点，点P是线段AB上异于点A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C. (1)求抛物线的表达式； (2)连接AC，是否存在点P使得△PAC为直角三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，抛物线y＝－x2＋4x与x轴交于点O，A，点B为抛物线上一点，且横坐标为1.过点B作直线BH⊥x轴于点H，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C. (1)求点A，C的坐标； (2)点N是抛物线的顶点，在直线BH上是否存在点M，使得以点A，M，N为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)． (1)求抛物线的表达式； (2) 点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；