2024年山西中考数学专题讲解——专题一、二次函数压轴题——三、运动产生的特殊三角形问题（1、等腰三角形问题）

2024年山西中考数学专题讲解——专题一、二次函数压轴题——三、运动产生的特殊三角形问题（1、等腰三角形问题） 1、 考察次数： 6年3考：2022.23(2)、2018 .23(2)、2016.23(3) 二、例题讲解： 例1、如图，A(1，1)、B(5，2)为平面直角坐标系中的两点，连接AB，C为x轴正半轴上任意一点． (1)若△ABC为等腰三角形时，回答下列问题． ①当CA＝CB时，请在图①的虚线框中画出△ABC，此时点C的坐标为________； 1. 图① ②当AC＝AB时，请在图②的虚线框中画出△ABC，此时点C的坐标为__________； 1. 图② ③当BA＝BC时，请在图③的虚线框中画出△ABC，此时点C的坐标为__________； 1. 图③ 例3、如图，已知抛物线y＝-x2+x＋2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为M，对称轴与x轴交于点N. (1)在y轴上一点D的坐标为(0，)，判断△ABD的形状，并说明理由； (2)点E是对称轴上的点，且纵坐标为2，判断△ABE的形状，并说明理由； 1. (3)在抛物线上是否存在点P，使得△PCO是以OC为底的等腰三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由； (4)在x轴上是否存在点E，使得△ACE是等腰三角形，若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图，点G是对称轴上一动点，是否存在点G，使得△CGB是等腰三角形，若存在，请求出点G的纵坐标；若不存在，请说明理由； 1. (6)如图，x轴上一点D的坐标为(4，0)．动点Q从点A开始沿AC方向以每秒个单位长度的速度运动，动点P从点C开始，沿CD方向以每秒个单位长度的速度运动，当一点到达终点时，另一点同时停止运动．设运动时间为t，是否存在t，使得△NPQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 1. 1. 四、课后练习： 1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．经过坐标原点O的直线l与抛物线在第四象限内交于点D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，其中A(－2，0)，D(6，－8)． (1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标． (2)连接AC，P是直线l上的一个动点．当△ACP是以AC为底的等腰三角形时，请求出点P的坐标． (3)若P是抛物线对称轴上的一个动点，当△CEP是等腰三角形时，请求出点P的坐标． (4)若P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形？ 2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A(－3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC． (1)抛物线的函数表达式． (2)在y轴上是否存在点D，使△BCD是以BC为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在抛物线上是否存在点E，使△BCE是以BC为底的等腰三角形？若存在，请写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由． (4)如下图，若M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q.试探究：在点M运动的过程中，是否存在点Q，使以点A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (5)如下图，经过点A的直线l分别与y轴，直线BC交 于点H，N.当△CHN是等腰三角形时，请求出点N的坐标． 3.如图，已知抛物线y＝x2－x－2与x轴交于A、B两点(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，连接AC，点P是y轴上的点，若△PAC是等腰三角形，求点P的坐标． 4. 如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋6与y轴交于点A，与x轴交于B、C(点B在点C的右侧)两点．点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，连接PA、PB. (1)求点A、B、C的坐标； (2)设△PAB的面积为S，试求S关于m的函数关系式，并求出△PAB的面积取最大值时m的值； (3)若点M是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使△MAB为等腰三角形？若存在，请求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接AC、BC，OB＝OC＝3，OA＝1. (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线上存在点H，使得S△OCH＝S△ABC，请求出点H的坐标； (3)试判断在y轴上是否存在点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5(a≠0)与x轴交