上海市浦东新区2023-2024学年高三下学期期中教学质量检测数学试卷

浦东新区2023学年度第二学期期中教学质量检测 高三数学试卷 考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．已知集合，集合，则____________． 2．若复数（是虚数单位），则____________． 3．已知等差数列满足，，则____________． 4．的二项展开式中项的系数为____________．（用数值回答） 5．已知随机变量服从正态分布，若，则____________． 6．已知是奇函数，当时，，则的值是____________． 7．某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为____________． 8．已知圆（），圆，若两圆相交，则实数的取值范围为___________． 9．已知，则不等式的解集为____________． 10．如图，有一底面半径为1，高为3的圆柱．光源点沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心．当光源点沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为____________． 11．已知双曲线的焦点分别为、，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为____________． 12．正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为____________． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13．“”是“直线与直线平行”的（ ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．已知，则下列结论不恒成立的是（ ）． A． B． C． D． 15．通过随机抽样，我们绘制了如图所示 的某种商品每千克价格（单位：百元） 与该商品消费者年需求量（单位：千 克）的散点图．若去掉图中右下方的 点后，下列说法正确的是（ ）． A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关 B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变 C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 16．设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论： ① 存在，使得为常数列； ② 存在，使得为公差不为零的等差数列． 那么（ ）． A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数，其中． （1）求在上的解； （2）已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中∥，，,，点为中点． （1） 证明：∥平面； （2） 求二面角的大小． 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图． （1）若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元； （2）若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少； （3）为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案． 方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用； 方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响．中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折． 若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由． 20．（本题满分18分