2025届高三数学一轮复习夯实练51：空间点、直线、平面之间的位置关系

一轮复习夯实练51　空间点、直线、平面之间的位置关系 基础练 1.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,且α∥β,则a与b的位置关系为(　　) A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面 2.若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA与O'A'的方向相同,则OB与O'B'(　　) A.一定平行且方向相同 B.一定平行且方向相反 C.一定不平行 D.不一定平行 3.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,N是A1B1的中点,过点B,D,N的平面α截该正方体所得截面的面积为(　　) A.4 B. C.4 D.2 4.(多选题)下列推理正确的有(　　) A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α B.若α,β是两个不同的平面,A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB C.l⊄α,A∈l⇒Aα D.A∈l,l⊂α⇒A∈α 5.(2024·山东济宁模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1为底面A1B1C1D1的中心,E为BC的中点,则异面直线AO1与C1E所成角的余弦值是　　　　.  6.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,求证: (1)E,F,G,H四点共面; (2)EG与HF的交点在直线AC上. 提升练 7.(2024·重庆模拟)在四棱锥S-ABCD中,SA⊥平面ABCD,AB=AS=2,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,E,F,G分别是SA,SB,BC的中点,则异面直线DE与FG所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 8.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BN与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是　　　　.  9.(2024·河北唐山模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱AB,BC的中点,过D1,E,F作该正方体的截面,则截面形状为　　　　,周长为　　　　　.  创新练 10.已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为2和5,侧棱长为3,则以下底面的一个顶点为球心,半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长为　　　　.  参考答案 1.D　解析 由题意,a与b不可能相交,当a与b共面时,a∥b,当a与b不共面时,a与b为异面直线. 2.D　解析 如图,若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA与O'A'的方向相同,OB与O'B'不一定平行. 3.B　解析 连接B1D1,取A1D1的中点M,连接MN,DM,BN.因为N是A1B1的中点,所以MN∥B1D1,MN=B1D1=因为BD∥B1D1,BD=B1D1,所以MN∥BD,MN=BD,所以过点B,D,N的平面α截该正方体所得截面为梯形BDMN.连接AC交BD于点O,连接A1C1交MN于点O1,连接OO1.因为B1N=D1M=1,BB1=DD1=2,∠BB1N=∠DD1M=90°,所以BN=DM=,所以梯形BDMN为等腰梯形,所以OO1=,所以梯形BDMN的面积为(2) 4.ABD　解析 由A∈l,A∈α,B∈l,B∈α根据基本事实2可得l⊂α,故A选项正确;由A∈α,A∈β,B∈α,B∈β根据基本事实3可得α∩β=AB,故B选项正确;由l⊄α,A∈l可得A∉α或A∈α,故C选项错误;由A∈l,l⊂α可得A∈α,故D选项正确. 5.　解析 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别取AD,A1D1的中点F,M,连接EF,D1F,AM,O1M,如图.因为E为BC的中点,有EF∥CD∥C1D1,EF=CD=C1D1,则四边形C1D1FE是平行四边形.于是D1F∥C1E.因为AF∥D1M,AF=D1M,所以四边形AMD1F是平行四边形,因此AM∥D1F∥C1E,则∠O1AM是异面直线AO1与C1E所成的角或补角.而O1为底面A1B1C1D1的中心,则O1M∥C1D1,又C1D1⊥平面ADD1A1,从而O1M⊥平面ADD1A1,而AM⊂平面ADD1A1,则O1M⊥AM,在Rt△O1MA中,O1M=1,AM=,则AO1=,于是cos∠O1AM=,所以异面直线AO1与C1E所成角的余弦值是 6.证明 (1)∵BG∶GC=DH∶HC=1∶2,∴GH∥BD.∵E,F分别为AB,AD的中点,∴EF∥BD,∴EF∥GH,∴E,F,G,H四点共面. (2)∵E,F分别是AB,AD的中点,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,∴EF∥GH,且EF≠GH.∴EG与FH必相交,设交点为M.∵EG⊂平面ABC,HF⊂平面ACD,∴M∈平面ABC,且M∈平面ACD.∵平面ABC∩平面ACD=AC,∴M∈AC,∴EG与HF的交点在直线A