专题04 因式分解60道压轴题型专训（6大题型）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题04 因式分解60道压轴题型专训（6大题型） 【题型目录】 题型一 已知因式分解的结果求参数 题型二 运用公式法分解因式 题型三 因式分解在有理数简算中的应用 题型四 十字相乘法 题型五 分组分解法 题型六 因式分解的应用 【压轴题型一 已知因式分解的结果求参数】 1．已知多项式可以分解为，则x的值是（    ） A． B． C． D． 2．如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（     ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 3．若能分解成两个一次因式的积，则整数k= . 4．已知多项式能分解为，则 ， ． 5．【例题讲解】因式分解：． 为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成， 展开等式右边得：， 恒成立． 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即， 解得， ． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 (1)若，则________； (2)若有一个因式是，求的值及另一个因式． 6．仔细阅读下面例题，解答问题 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得， 另一个因式为，的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值： (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 7．1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知，当时，原式． ∴原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为．则， ∵， ∴ ∵等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ∴． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知，当______时，原式，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为．则______，______． (2)已知多项式（为常数）有一个因式是，求另一个因式以及的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． …… (3)已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为______，的值为______． 8．仔细阅读下面例题： 例题：已知二次三项式有一个因式是x＋2，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式px＋n，得＝（x＋2）（px＋n）， 对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是＝（x＋2）（x＋n）． 则＝＋（n＋2）x＋2n， ∴n＋2＝5，m＝2n， 解得n＝3，m＝6， ∴另一个因式为x＋3，m的值为6 依照以上方法解答下面问题： （1）若二次三项式﹣7x＋12可分解为（x﹣3）（x＋a），则a＝　 　； （2）若二次三项式2＋bx﹣6可分解为（2x＋3）（x﹣2），则b＝　 　； （3）已知代数式2＋＋kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值． 9．仔细阅读下面的例题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，， 解得，， ∴另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题： （1）若二次三项式可分解为，则________； （2）若二次三项式可分解为，则________； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 10．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因数及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得， 化简、整理，得， 于是有解得， 另一个因式为，m的值为． 问题：仿照上述方法解答下面的问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【压轴题型二 运用公式法分解因式】 1．若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知满足，，则的值为（   ） A．4 B．1 C．0 D．-8 3．已知，为自然数，且，若，则 ， ． 4．如果因式分解的结果为 ． 5．阅读材料，解决问题 【材料】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式． 原式． 【材料】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则 原式，再将重新代入，得：原式 上述解题用到的“整体思