第4节 利用导数研究不等式恒成立问题-2025届高三数学一轮复习-人教A版（2019）-选择性必修第二册

高三一轮复习 第4节 利用导数研究不等式恒成立问题 【总览】： 题型1 证明单变量不等式恒成立 题型2 利用隐零点证明单变量不等式恒成立 题型3 利用导数证明含参不等式恒成立 题型4 不等式恒成立求参数的取值范围 题型5 双变量不等式恒成立的证明 【典例讲解】： 题型1 证明单变量不等式恒成立 例1 我们知道，利用导数证明基本不等式： (1)； (2). 例2 已知函数． (1)求的单调区间； (2)求证：对，恒成立． 练1 已知函数f（x）＝ex－（e－1）x－1.求证：当x＞0时，≥ln x. 练2 已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：当时，. 练3 已知函数，. (1)求的单调区间和极小值； (2)证明：当时，. 题型2 利用隐零点证明单变量不等式恒成立 例1 已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)已知，当，试比较与的大小，并给予证明． 例2 已知函数．证明：． 练1 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求证：. 练2 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值与最小值； (3)当时，求证：． 题型3 利用导数证明含参不等式恒成立 例1 已知函数. (1)若存在极值，求的取值范围； (2)若，，证明：. 例2 已知函数，当时，证明：. 练1 已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：． 练2 已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)证明：当时， 练3 已知为函数的导函数． (1)讨论的单调性； (2)若，证明：当时，． 题型4 不等式恒成立求参数的取值范围 例1 已知函数.若有解，求的取值范围． 例2 已知函数f（x）＝3ex.若对任意x≥2，f（x）≥ax－2a恒成立，求实数a的取值范围． 练1 已如曲线在处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)若恒成立，求的取值范围. 练2 已知函数. (1)讨论函数的单调区间并求出极值； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 练3 函数（为实数）. (1)若，判断直线与的图象是否相切，并说明理由； (2)若恒成立，求的值. 练4 已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若对任意，有恒成立，求整数m的最小值 题型5 双变量不等式恒成立的证明 例1 已知函数f（x）＝x＋－ln x，g（x）＝x2－2bx＋4－ln 2.若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数），f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围． 例2 设a为实数，函数． (1)求的极值； (2)对于，都有，试求实数a的取值范围． 练1 已知函数，函数． (1)求的单调区间； (2)若，使得成立，求的取值范围． 练2 已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1（a∈R）． （1）求f（x）的单调区间； （2）设g（x）＝lnx，若对任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，求实数a的取值范围． 【强化训练】 1.已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)若，证明：当时，； 2.已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 3.已知曲线在处的切线过点． (1)试求，满足的关系式；（用表示） (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，． 4.已知函数， (1)若，求函数在处的切线方程： (2)若恒成立，求实数的取值范围. 5.已知函数，在处取得极小值． (1)求函数的解析式； (2)求函数的极值； (3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围． 第 2 页 共 2 页 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$高三一轮复习 第4节利用导数研究不等式恒成立问题 【总览】： 题型1证明单变量不等式恒成立 题型2利用隐零，点证明单变量不等式恒成立 题型3利用导数证明含参不等式恒成立 题型4不等式恒成立求参数的取值范围 题型5双变量不等式恒成立的证明 【典例讲解】： 题型1证明单变量不等式恒成立 例1我们知道fx)≥0一(x)20,利用导数证明基本不等式： (1)e-x-120; (2)5≥nx. 第1页共15页 例2已知函数f(x)=x-lnr. (1)求f(x)的单竭区问； (2)求证：对x>-1,x≥ln(x+1)恒成立. 练1已知函数∫)=cr-(e-1)x-1.求证：当x>0时，四≥nx 第2页共15页 高三一轮复习 练2已知函致f()=lmr+m∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当m=1时，证明：当x21时，f(x)-e-x+es0. 练3已知丽数f(x)=cosx+xsinx,x∈(-元). (1)求)的单调区间和极小值； (2)证明：当re[0,)时，